Câu hỏi:
Cho hình lăng trụ có hai đáy là đường tròn tâm \(O\) và \(O’,\) bán kính đáy bằng chiều cao bằng \(4a.\) Trên đường tròn đáy có tâm \(O\) lấy điểm \(A,D;\) trên đường tròn \(O’\)lấy điểm \(B,C\) sao cho \(AB\) song song với \(CD\) và \(AB\) không cắt \(OO’.\) Tính độ dài \(AD\) để thể tích khối chóp \(O’.ABCD\) đạt giá trị lớn nhất?
A.\(AD = 4a\sqrt 2 .\)
Đáp án chính xác
B. \(AD = 8a.\)
C.\(AD = 2a.\)
D. \(AD = 2a\sqrt 3 .\)
Trả lời:
Đáp án A.
Từ \(B,C\) kẻ các đường thẳng song song với đường sinh của hình trụ cắt đường tròn tâm \(O\) lần lượt tại \(B’,C’.\)
Vì \(AD\) và \(BC\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {AB;CD} \right)\) với hai mặt phẳng song song nên \(AD//BC.\)
Suy ra: \(AD//B’C’\) hay \(AB’C’D\) là hình bình hành nộp tiếp nên nó là hình chữ nhật.
\(\left\{ \begin{array}{l}B’C’ \bot DC’\\B’C’ \bot CC’\end{array} \right. \Rightarrow B’C’ \bot CD\) mà \(BC//B’C’\) suy ra \(BC \bot CD.\)
Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Đặt \(BC = AD = 2x,\) gọi \(I,I’\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OI’ \bot BC\\OO’ \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OO’I’} \right) \Rightarrow \left( {OO’I’} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và có giao tuyến \(I’I.\)
Từ \(O’\) kẻ đường vuông góc với \(I’I\) tại \(H,\) suy ra \(O’H\) là đường cao của hình chóp \(O’.ABCD\).
Gọi \(J\) là giao điểm của \(OO’\) và \(I’I,J\) là trung điểm của \(OO’.\)
Ta có: \(OI = O’I’ = \sqrt {O'{C^2} – I'{C^2}} = \sqrt {16{a^2} – {x^2}} .\)
\(DC’ = 2.OI = 2\sqrt {16{a^2} – {x^2}} \Rightarrow DC = \sqrt {DC{‘^2} + CC{‘^2}} = \sqrt {4\left( {16{a^2} – {x^2}} \right) + 16{a^2}} = 2\sqrt {20{a^2} – {x^2}} \)
\(\frac{1}{{O'{H^2}}} = \frac{1}{{O'{J^2}}} + \frac{1}{{O’I{‘^2}}} = \frac{{O'{J^2} + O’I{‘^2}}}{{O'{J^2}.O’I{‘^2}}} \Rightarrow O’H = \frac{{O’J.O’I’}}{{\sqrt {O'{J^2} + O’I{‘^2}} }} = \frac{{2a.\sqrt {16{a^2} – {x^2}} }}{{\sqrt {20{a^2} – {x^2}} }}\)
Suy ra: \({V_{O’.ABCD}} = \frac{1}{3}.O’H.AD.DC = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt {16{a^2} – {x^2}} }}{{\sqrt {20{a^2} – {x^2}} }}.2x.2\sqrt {20{a^2} – {x^2}} = \frac{8}{3}.x\sqrt {16{a^2} – {x^2}} \)
\( = \frac{{8a}}{3}\sqrt {{x^2}\left( {16{a^2} – {x^2}} \right)} \le \frac{{8a}}{3}.\frac{{{x^2} + 16{a^2} – {x^2}}}{2} = \frac{{64{a^3}}}{3}.\)
Vậy \(\max {V_{O’.ABCD}} = \frac{{64{a^3}}}{3} \Leftrightarrow {x^2} = 16{a^2} – {x^2} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 a \Rightarrow AD = 4\sqrt 2 a.\)
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4 – 3x}}{{4x + 5}}\) là
Câu hỏi:
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4 – 3x}}{{4x + 5}}\) là
A.\(y = \frac{3}{4}.\)
B.\(y = – \frac{3}{4}.\)
Đáp án chính xác
C.\(x = \frac{3}{4}.\)
D. \(x = – \frac{5}{4}.\)
Trả lời:
Đáp án B
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{4 – 3x}}{{4x + 5}} = – \frac{3}{4}\) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 – 3x}}{{4x + 5}} = – \frac{3}{4}\)) nên đường thẳng \(y = – \frac{3}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
A.\({60^0}.\)
B.\({30^0}.\)
C.\({90^0}.\)
D. \({45^0}.\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Đáp án D
Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \supset AC \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SCA}.\)
Xét tam giác vuông \(SAC,\) ta có: \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^0}.\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
Câu hỏi:
Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
A. 10.
B. 11.
C. 12.
Đáp án chính xác
D. 13.
Trả lời:
Đáp án C.
Hình bát diện đều có 12 cạnh.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(Q = \frac{{2017x}}{y} + \frac{{2y}}{z} + \frac{z}{x}.\)
Câu hỏi:
Cho \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(Q = \frac{{2017x}}{y} + \frac{{2y}}{z} + \frac{z}{x}.\)
A. 2019.
B. 2021.
C. 2020.
Đáp án chính xác
D. 2018.
Trả lời:
Đáp án C.
Theo bài ra, \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhận và \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}xz = {y^2}\\{\log _a}x + {\log _{\sqrt[3]{a}}}z = 2{\log _{\sqrt a }}y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x.z = {y^2}\\{\log _a}x + 3{\log _a}z + 4{\log _a}y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x.z = {y^2}\\{\log _a}x{z^3} = {\log _a}{y^4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xz = {y^2}\\x{z^3} = {y^4}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x.z = {y^2}\\{y^2}{z^2} = {y^4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x.y = {y^2}\\z = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z.\)
Do đó: \(Q = \frac{{2017x}}{y} + \frac{{2y}}{z} + \frac{z}{x} = \frac{{2017x}}{x} + \frac{{2x}}{x} + \frac{x}{x} = 2017 + 2 + 1 = 2020.\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) bán kính \(R\) có diện tích bằng
Câu hỏi:
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) bán kính \(R\) có diện tích bằng
A. \(\frac{4}{3}\pi {R^2}.\)
B.\(4\pi {R^2}.\)
Đáp án chính xác
C.\(2\pi {R^2}.\)
D. \(\pi {R^2}.\)
Trả lời:
Đáp án B.
Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(S = 4\pi {R^2}.\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====