Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với góc \({60^0}.\) Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt \(SB,SD\) lần lượt tại E và F và chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích V của khối chóp không chứa đỉnh S.

Câu hỏi:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với góc \({60^0}.\) Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt \(SB,SD\) lần lượt tại E và F và chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích V của khối chóp không chứa đỉnh S.

A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{36}}.\)      

B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}.\) 

Đáp án chính xác

C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{18}}.\)                      

D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)

Trả lời:

Đáp án B

+) Gọi \(O = AC \cap BD,{\rm{ }}G = AM \cap SO\)
Þ G là trọng tâm \(\Delta SAC \Rightarrow \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).
+) Ta có: \(\left( {\widehat {SC;\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC;OC}} \right) = \widehat {SCO} = 60^\circ \)
Có \(OC = \frac{1}{2}.AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},{\rm{ }}SO = OC.\tan \widehat {SCO} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).
+) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD Þ \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua G và song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Do đó \(\left( \alpha \right)\) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AEMF Þ \(\left( \alpha \right)\) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần là khối chóp S.AEMF và khối đa diện EMFABCD.
+) Ta có EF đi qua G và \(EF//BD \Rightarrow \frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).
+) \(\frac{{{V_{S.AEF}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9} \Rightarrow {V_{S.ABD}} = \frac{2}{9}{V_{S.ABCD}}\)
+) \(\frac{{{V_{S.EFM}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SF}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{2}{9} \Rightarrow {V_{S.EFM}} = \frac{2}{9}{V_{S.BCD}} = \frac{1}{9}{V_{S.ABCD}}\)
+ Ta có: \({V_{S.AEMF}} = {V_{S.AEF}} + {V_{S.EFM}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}}\)
Þ Thể tích khối chóp không chứa đỉnh S là:
\(V = {V_{S.ABCD}} – {V_{S.AEMF}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABCD}} = \frac{2}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC, với \(A\left( {1;2;1} \right),B\left( { – 3;0;3} \right),C\left( {2;4; – 1} \right).\)  Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC, với \(A\left( {1;2;1} \right),B\left( { – 3;0;3} \right),C\left( {2;4; – 1} \right).\)  Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

   A. \(D\left( {6; – 6;3} \right).\)                     

   B. \(D\left( {6;6;3} \right).\)   

   C. \(D\left( {6; – 6; – 3} \right).\)             

   D. \(D\left( {6;6; – 3} \right).\)

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\)
   Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 4; – 2;2} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {DC} = \left( {2 – x;4 – y; – 1 – z} \right)\).
   Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 – x = – 4\\4 – y = – 2\\ – 1 – z = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 6\\z = – 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {6;6; – 3} \right)\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Với các số thực \(a,b > 0,a \ne 1\)  tùy ý, biểu thức \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\) bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với các số thực \(a,b > 0,a \ne 1\)  tùy ý, biểu thức \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\) bằng:

   A. \(\frac{1}{2} + 4{\log _a}b.\)                 

   B. \(2 + 4{\log _a}b.\) 

   C. \(\frac{1}{2} + {\log _a}b.\)                         

   Đáp án chính xác

   D. \(2 + {\log _a}b.\)

   Trả lời:

   Đáp án C
   Phương pháp:
   Áp dụng công thức: \({\log _{{a^n}}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b{\rm{ }}\left( {a,b > 0,{\rm{ }}a \ne 1,{\rm{ }}n \ne 0} \right)\) và \({\log _a}{b^n} = n.{\log _a}b{\rm{ }}\left( {a,b > 0;{\rm{ }}a \ne 1} \right)\)
   Lưu ý: \({\log _a}a = 1{\rm{ }}\left( {a > 0,{\rm{ }}a \ne 1} \right)\)
   Cách giải:
   \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right) = {\log _{{a^2}}}a + {\log _{{a^2}}}{b^2} = \frac{1}{2}{\log _a}a + \frac{1}{2}.2.{\log _a}b = \frac{1}{2} + {\log _a}b\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} – 3{x^2} + 5x + 2019\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} – 3{x^2} + 5x + 2019\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

   A. \(\left( {5; + \infty } \right).\)                   

   B. \(\left( { – \infty ;1} \right).\)        

   C. \(\left( {2;3} \right).\)              

   D. \(\left( {1;5} \right).\)

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Phương pháp:
   Xác định khoảng D mà \(y’ \le 0\) và \(y’ = 0\) tại hữu hạn điểm trên D.
   Cách giải:
   

   \(y = \frac{{{x^3}}}{3} – 3{x^2} + 5x + 2019 \Rightarrow y’ = {x^2} – 6x + 5,{\rm{ }}y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\)
   Hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} – 3{x^2} + 5x + 2019\) nghịch biến trên \(\left( {1;5} \right)\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Số nghiệm của phương trình \(\ln \left( {{x^2} – 6x + 7} \right) = \ln \left( {x – 3} \right)\) là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số nghiệm của phương trình \(\ln \left( {{x^2} – 6x + 7} \right) = \ln \left( {x – 3} \right)\) là

   A. 2.                       

   B. 1.                       

   Đáp án chính xác

   C. 0.                       

   D. 3.

   Trả lời:

   Đáp án B
   Phương pháp:
   \(\ln f\left( x \right) = \ln g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f\left( x \right) > 0\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)
   Cách giải:
   Ta có: \(\ln \left( {{x^2} – 6x + 7} \right) = \ln \left( {x – 3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 6x + 7 = x – 3\\x – 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 7x + 10 = 0\\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?

   A. \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = \frac{1}{n}.\)                            

   B. \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {u_{n – 1}} – 2,\forall n \ge 2.\)

   Đáp án chính xác

   C. \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {2^n} – 1.\)                                 

   D. \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = 2{u_{n – 1}},\forall n \ge 2.\)

   Trả lời:

   Đáp án B
   Hiệu hai số hạng liên tiếp là hằng số thì đó là cấp số cộng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====