Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD). 

Câu hỏi:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng ${60}^0.$ Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD). 

A. $\frac{\sqrt{41}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{2\sqrt{41}}{4}$

Trả lời:

Từ M hạ $MK\perp AO$ tại K. Suy ra $\left(MN,\left(ABCD\right)\right)=\left(MN,NK\right)=\widehat{MNK}\Rightarrow \widehat{MNK}={60}^0.$
$K{N}^2=C{K}^2+N{C}^2-2CK.NC.\cos {45}^0={\left(\frac{3}{4}a\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2-2\frac{3}{4}a\sqrt{2}\frac{a}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5}{8}{a}^2\Rightarrow KN=\frac{a\sqrt{10}}{4}$
Suy ra $MK=NK.\tan {60}^0=\frac{a\sqrt{10}}{4}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{30}}{4}\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{30}}{2}.$
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có
$S\left(0;0;\frac{a\sqrt{30}}{2}\right);A\left(0;-\frac{a\sqrt{2}}{2};0\right);M\left(0;-\frac{a\sqrt{2}}{4};\frac{a\sqrt{30}}{4}\right).$
$C\left(0;\frac{a\sqrt{2}}{2};0\right);B\left(-\frac{a\sqrt{2}}{2};0;0\right);N\left(-\frac{a\sqrt{2}}{4};\frac{a\sqrt{2}}{4};0\right).$
 
$\overrightarrow{MN}\left(-\frac{a\sqrt{2}}{4};\frac{2a\sqrt{2}}{4};-\frac{a\sqrt{30}}{4}\right)=-\frac{a\sqrt{2}}{4}\left(1;-2;\sqrt{15}\right).$ Chọn $\overrightarrow{u}\left(1;-2;\sqrt{15}\right)$ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng MN.
Mặt phẳng (SBD) có phương trình là y = 0 có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left(0;1;0\right).$
$\sin \left(MN,\left(SBD\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{2}{\sqrt{1+4+15}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow \cos \left(MN,\left(SBD\right)\right)=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
 
Chọn C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hình nón có đường sinh l = 2a và hợp với đáy góc α=600. Diện tích toàn phần của hình nón bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hình nón có đường sinh l = 2a và hợp với đáy góc $\alpha ={60}^0.$ Diện tích toàn phần của hình nón bằng

   A. $4\pi a^2.$

   B. $2\pi a^2.$

   C. $3\pi a^2.$

   Đáp án chính xác

   D. $\pi a^2.$

   Trả lời:

   

   Ta có: $\cos \alpha =\frac{r}{l}\Rightarrow r=l.\cos \alpha =2a.\frac{1}{2}=a.$
   Vậy $S_{tp}=S_{xq}+\pi r^2=\pi rl+\pi r^2=2\pi a^2+\pi a^2=3\pi a^2.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho số phức z thỏa mãn 3z¯+i−2−iz=3+10i. Mô đun của z bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số phức z thỏa mãn $3\left(\overline{z}+i\right)-\left(2-i\right)z=3+10i.$ Mô đun của z bằng

   A. 3

   B. 5

   C. $\sqrt{5}$

   Đáp án chính xác

   D. $\sqrt{3}$

   Trả lời:

   Đặt $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$
   Phương trình đã cho $\iff 3\left(x-yi+i\right)-\left(2-i\right)\left(x+yi\right)=3+10i$
   $\iff x-y+i\left(x-5y+3\right)=3+10i$
   $\iff \left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ x-5y+3=10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right..$ Vậy $\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5}.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f(x) = m có nghiệm duy nhất?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và có bảng biến thiên như sau
   
   Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f(x) = m có nghiệm duy nhất?

   A. 6                             

   B. 7                             

   Đáp án chính xác

   C. 5                             

   D. 8

   Trả lời:

   Để phương trình f(x) = m có nghiệm duy nhất $\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ -5<m\le 1\end{array}\right..$
   Do m là số nguyên $\Rightarrow m\in \left\{-4;-3;-2;-1;0;1;2\right\}.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số fx=x3+m2+1x+m2−2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của  để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] bằng 7. 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+\left(m^2+1\right)x+m^2-2$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của  để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] bằng 7. 

   A. $m=\pm 3$

   Đáp án chính xác

   B. $m=\pm \sqrt{7}$

   C. $m=\pm \sqrt{2}$

   D. $m=\pm 1$

   Trả lời:

   Ta có: $f‘\left(x\right)=3x^2+m^2+1>0\forall x\in \left[0;2\right]$
   $\Rightarrow \underset{\left[0;2\right]}{Min}f\left(x\right)=f\left(0\right)\iff 7-m^2-2\iff m=\pm 3.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB=2a, AC=3a, AD=4a. Thể tích của khối tứ diện đó là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và $AB=2a,AC=3a,AD=4a.$ Thể tích của khối tứ diện đó là

   A. $8a^3.$

   B. $4a^3.$

   Đáp án chính xác

   C. $6a^3.$

   D. $12a^3.$

   Trả lời:

   $V_{S.ABCD}=\frac{1}{6}AB.AC.AD=\frac{1}{6}.2a.3a.4a=4a^3.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====