Cho hình chóp S.ABCD  có đáy ABCD  là hình bình hành. Gọi M,N  lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC . Điểm I thuộc SA . Biết mặt phẳng (MNI)  chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 713  lần phần còn lại. Tính tỉ số k=IAIS ?

Câu hỏi:

Cho hình chóp $S.ABCD$  có đáy $ABCD$  là hình bình hành. Gọi $M,N$  lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC$ . Điểm I thuộc $SA$ . Biết mặt phẳng $\left(MNI\right)$  chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng $\frac{7}{13}$  lần phần còn lại. Tính tỉ số $k=\frac{IA}{IS}$ ?

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{2}{3}$

Đáp án chính xác

C.$\frac{3}{4}$

D.$\frac{1}{3}$

Trả lời:

Đặt $\frac{SI}{SA}=x(0<x<1)$.
Trong $\left(ABCD\right)$ kéo dài $MN$ cắt $AD,CD$ lần lượt tại $P,Q$.
Trong $\left(SAD\right)$ kéo dài $MN$ cắt $SD$ tại E.
Trong $\left(SCD\right)$ nối $QE$ cắt $SC$ tại J.
Khi đó $\left(IMN\right)$ cắt hình chóp theo thiết diện là $IMNJE$.
Mặt phẳng $\left(IMN\right)$ chia khối chóp thành hai phần, gọi $V_1$ là phần thể tích chứa đỉnh S và $V=V_{S.ABCD}$.
Khi đó ta có $\frac{V_1}{V}=\frac{7}{20}$.
Ta có: $V_1=V_{S.BMN}+V_{S.MNI}+V_{S.INJ}+V_{IJE}$.
+) $\frac{V_{S.BMN}}{V}=\frac{S_{BMN}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{2}.\frac{BM}{BA}.\frac{BN}{BC}=\frac{1}{8}$ $\Rightarrow V_{S.BMN}=\frac{V}{8}$.
+) $\frac{V_{S.MNI}}{V_{S.MNA}}=\frac{SI}{SA}=x\Rightarrow V_{S.MNI}=x{V}_{S.MNA}$
$\frac{V_{S.MNA}}{V}=\frac{S_{MNA}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{2}{S}_{ABN}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{8}\Rightarrow V_{S.MNA}=\frac{1}{8}V$
$\Rightarrow V_{S.MNI}=\frac{x}{8}V$.
+) $\frac{V_{S.INJ}}{V_{S.ANC}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SJ}{SC}$
Ta có: $\{\begin{array}{l}\left(IMN\right)\cap \left(SAC\right)=IJ\\ \left(IMN\right)\cap \left(ABCD\right)=MN\\ \left(SAC\right)\cap \left(ABCD\right)=AC\end{array}$, lại có $MN//AC$ (do MN là đường trung bình của tam giác ABC)
$\Rightarrow IJ//MN\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{SJ}{SC}=x$.
$\Rightarrow \frac{V_{S.INJ}}{V_{S.ANC}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SJ}{SC}=x^2\Rightarrow V_{S.INJ}=x^2{V}_{S.ANC}$.
$\frac{V_{S.ANC}}{V}=\frac{S_{ANC}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{2}{S}_{ABC}}{ABCD}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{S.INJ}=\frac{x^2}{4}V$.
+) $\frac{V_{S.ANC}}{V}=\frac{S_{ANC}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{2}{S}_{ABC}}{ABCD}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{S.INJ}=\frac{x^2}{4}V$.
Dễ dàng chứng minh được $\Delta BMN=\Delta CQN(g.c.g)\Rightarrow BM=CQ=\frac{1}{2}CD$.
$\Rightarrow DQ=3CQ=3AM\Rightarrow \frac{AM}{DQ}=\frac{PA}{PD}=\frac{1}{3}$.
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác $SAD$ ta có:
$\frac{PA}{PD}.\frac{ED}{ES}.\frac{IS}{IA}=1\Rightarrow \frac{1}{3}.\frac{ED}{ES}.\frac{x}{1-x}=1\iff \frac{ED}{ES}=\frac{3(1-x)}{x}$
$\Rightarrow \frac{ED+ES}{ES}=\frac{3-2x}{x}\Rightarrow \frac{SE}{SD}=\frac{x}{3-2x}$
$\Rightarrow \frac{V_{S.IJE}}{V_{S.ACD}}=x^2\frac{SE}{SD}=x^2.\frac{x}{3-2x}=\frac{x^3}{3-2x}$
Mà $V_{S.ACD}=\frac{1}{2}V\Rightarrow V_{S.IJE}=\frac{x^3}{6-4x}V$.
Khi đó ta có: $V_1=V_{S.BMN}+V_{S.MNI}+V_{S.INJ}+V_{IJE}$
$=\frac{V}{8}+\frac{x}{8}V+\frac{x^2}{4}V+\frac{x^3}{6-4x}V$
$=(\frac{1}{8}+\frac{x}{8}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{6-4x})V$
$\Rightarrow \frac{1}{8}+\frac{x}{8}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{6-4x}=\frac{7}{20}$
Thử đáp án:
Đáp án A: $k=\frac{IA}{IS}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{SI}{SA}=\frac{2}{3}$ ⇒ Loại.
Đáp án B: $k=\frac{IA}{IS}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{3}{5}$⇒ Thỏa mãn.
Đáp án B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Có hai bút chì màu, các bút chì khác nhau. Hộp thứ nhất có 5 bút chì màu đỏ và 7 bút chì màu xanh. Hộp thứ hai có 8 bút chì đỏ và 4 bút chì màu xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì. Xác suất để có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có hai bút chì màu, các bút chì khác nhau. Hộp thứ nhất có 5 bút chì màu đỏ và 7 bút chì màu xanh. Hộp thứ hai có 8 bút chì đỏ và 4 bút chì màu xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì. Xác suất để có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh là:

   A.$\frac{17}{36}$

   B.$\frac{7}{12}$

   C.$\frac{19}{36}$

   Đáp án chính xác

   D.$\frac{5}{12}$

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   Công thức tính xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n_A}{n_{\Omega }}.$
   Giải chi tiết:
   Số cách chọn được 2 bút chì từ 2 hộp là: $n_{\Omega }=C_{12}^1{C}_{12}^1=144$ cách chọn.
   Gọi biến cố A: “Chọn được 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh”.
   $\Rightarrow n_A=C_5^1{C}_4^1+C_7^1{C}_8^1=76$ cách chọn.
   $\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{n_A}{n_{\Omega }}=\frac{76}{144}=\frac{19}{36}$

   Đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình chóp S.ABC  có SA⊥(ABC) và AB⊥BC.Góc giữa hai mặt phẳng (SBC)  và (ABC)  là góc nào sau đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp $S.ABC$  có $SA\perp \left(ABC\right)$ và $AB\perp BC.$Góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$  và $\left(ABC\right)$  là góc nào sau đây?

   A. $\widehat{SCA}$

   B. $\widehat{SIA}$ với I là trung điểm của BC.

   C. $\widehat{SCB}$

   D. $\widehat{SBA}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   Góc giữa mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và mặt phẳng $\left(\beta \right)$ là góc giữa đường thẳng $a\subset \left(\alpha \right)$ và $b\subset \left(\beta \right)$
   sao cho $\{\begin{array}{l}a\perp d\\ b\perp d\end{array}$ với$d=\left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right).$

   Giải chi tiết:
   
   Ta có: $\left(SBC\right)\cap \left(ABC\right)=BC.$
   Vì $SA\perp \left(ABC\right)$ $\Rightarrow SA\perp BC$
   Lại có:$AB\perp BC\left(gt\right)$
   $\Rightarrow \left(\widehat{SBC},\widehat{ABC}\right)=\widehat{(SB,AB)}=\widehat{SBA}$

   Đáp án D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40. Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40. Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6.

   A.$\frac{126}{1147}$

   Đáp án chính xác

   B.$\frac{252}{1147}$

   C.$\frac{26}{1147}$

   D.$\frac{12}{1147}$

   Trả lời:

   Công thức tính xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n_A}{n_{\Omega }}.$
   Số chia hết cho 6 là số chia hết cho 2 và 3.
   Giải chi tiết:
   Số cách chọn 10 tấm thẻ bất kì trong 40 tấm thẻ đã cho là: $n_{\Omega }=C_{40}^{10}$cách chọn.
   Gọi biến cố A: “Chọn được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng 1 tấm thẻ chia hết cho 6”.
   Số thẻ chia hết cho 6 được chọn trong các số: 6; 12; 18; 24; 30; 36.
   $\Rightarrow n_A=C_{20}^5.C_{14}^4.C_6^1$ cách chọn
   $\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{n_A}{n_{\Omega }}=\frac{C_{20}^5{C}_{14}^4{C}_6^1}{C_{40}^{10}}=\frac{126}{1147}.$

   Đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong bài thi thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua một sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia 100m.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong bài thi thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua một sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia 100m.

   A.$\frac{200\sqrt{2}}{3}\left(m\right)$

   B.$60\sqrt{5}\left(m\right)$

   Đáp án chính xác

   C.$\frac{200\sqrt{3}}{3}\left(m\right)$

   D.$75\sqrt{2}\left(m\right)$

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   Ta có hình vẽ, khi đó chiến sĩ ở vị trí A, mục tiêu ở vị trí C.
   Quãng đường chiến sĩ phải bơi là AD, quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là DC.
   Ta có: $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{{1000}^2-{100}^2}=300\sqrt{11}\left(m\right).$
   Đặt $BD=x\left(m\right),(0<x<300\sqrt{11}).$
   ⇒ Quãng đường chiến sĩ phải bơi là: $AD=\sqrt{A{B}^2+B{D}^2}=\sqrt{x^2+{100}^2}\left(m\right).$
   Quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là: $CD=BC-BD=300\sqrt{11}-x\left(m\right).$
   ⇒ Thời gian chiến sĩ đến được mục tiêu là: $AD=\sqrt{A{B}^2+B{D}^2}=\sqrt{x^2+{100}^2}\left(m\right).$ 
   Tìm x để $t\left(x\right)$ đạt $Min$ rồi suy ra quãng đường chiễn sĩ phải bơi.
   Giải chi tiết:
   
   Gọi vận tốc của chiến sĩ khi bơi là $a(m/s),(a>0).$
   ⇒ Vận tốc của chiến sĩ khi chạy bộ là: $3a(m/s).$
   Ta có hình vẽ, khi đó chiến sĩ ở vị trí A, mục tiêu ở vị trí C.
   Quãng đường chiến sĩ phải bơi là AD, quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là DC.
   Ta có: $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{{1000}^2-{100}^2}=300\sqrt{11}\left(m\right).$
   Đặt $BD=x\left(m\right),(0<x<300\sqrt{11}).$
   ⇒ Quãng đường chiến sĩ phải bơi là: $AD=\sqrt{A{B}^2+B{D}^2}=\sqrt{x^2+{100}^2}\left(m\right).$
   Quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là: $CD=BC-BD=300\sqrt{11}-x\left(m\right).$
   ⇒ Thời gian chiến sĩ đến được mục tiêu là: $t=\frac{AD}{a}+\frac{DC}{3a}=\frac{\sqrt{x^2+{100}^2}}{a}+\frac{300\sqrt{11}-x}{3a}$
   $=\frac{1}{3a}(3\sqrt{x^2+{100}^2}+300\sqrt{11}-x)$
   Xét hàm số: $f\left(x\right)=3\sqrt{x^2+{100}^2}-x+300\sqrt{11}$trên $(0;300\sqrt{11})$ta có:
   $f^{‘}\left(x\right)=\frac{3x}{2\sqrt{x^2+{100}^2}}-1\Rightarrow f^{‘}\left(x\right)=0$
   $\iff 3x=2\sqrt{x^2+{100}^2}\iff 9x^2=4x^2+{4.100}^2$
   $\iff 5x^2={4.100}^2$
   $\iff x^2=\frac{4}{5}{.100}^2\iff x=\frac{2\sqrt{5}}{5}.100=40\sqrt{5}\left(tm\right)$
   ⇒ Quãng đường bơi mà chiến sĩ phải bơi để đến được mục tiêu nhanh nhất là:
   $AD=\sqrt{x^2+{100}^2}=\sqrt{\frac{4}{5}{.100}^2+{100}^2}$ $=\sqrt{\frac{9}{5}{.100}^2}=60\sqrt{5}m.$
   Đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y=ax4+bx2+c  có đồ thị như hình vẽ bên.   Mệnh đề nào dưới đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$  có đồ thị như hình vẽ bên.
    

   Mệnh đề nào dưới đây đúng?

   A.$a<\mathrm{0,}b<\mathrm{0,}c<0$

   B.$a<\mathrm{0,}b>\mathrm{0,}c<0$

   Đáp án chính xác

   C.$a>\mathrm{0,}b<\mathrm{0,}c<0$

   D.$a>\mathrm{0,}b<\mathrm{0,}c>0$

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   Dựa vào đồ thị hàm số để nhận xét các điểm mà đồ thị hàm số đã đi qua, các điểm cực trị của hàm số để suy ra dấu của $a,b,c.$
   Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c(a\ne 0)$ ta có:
   +) Hàm số có một cực trị $\iff ab\ge 0$
   +) Hàm số có ba cực trị $\iff ab<0$
   Giải chi tiết:
   Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy nét cuối của đồ thị đi xuống dưới
   $\Rightarrow a<0$ ⇒ loại đáp án C và D.
   Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $\Rightarrow ab<0\Rightarrow b>0.$

   Đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====