Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = 3,\) tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) và \(AC = 2\sqrt 2 .\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC.\) Trên hai cạnh \(SA,SB\) lấy các điểm \(P,Q\) tương ứng sao cho \(SP = 1,SQ = 2.\) Tính thể tích \(V\) của tứ diện \(MNPQ.\)
A.\(V = \frac{{\sqrt 7 }}{{18}}.\)
Đáp án chính xác
B.\(V = \frac{{\sqrt {34} }}{{12}}.\)
C.\(V = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}.\)
D. \(V = \frac{{\sqrt {34} }}{{144}}.\)
Trả lời:
Gọi \(I\) là giao điểm của \(PQ\) và \(AB\)
\({V_{MNPQ}} = {V_{I.MPN}} – {V_{I.QMN}} = {V_{P.MNI}} – {V_{Q.MNI}}.\)
Tính diện tích \(\Delta MNI\)
\(MN = 1\)
Gọi \(E\) là trung điểm của \(SQ \Rightarrow PE//AB\) và \(PE = \frac{1}{3}AB\)
Ta có \(\Delta PEQ = \Delta IBQ\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow PE = IB\)
\( \Rightarrow IB = \frac{1}{3}AB = \frac{2}{3}.\)
\(I{N^2} = B{N^2} + I{B^2} = 1 + \frac{4}{9} = \frac{{13}}{9} \Rightarrow IN = \frac{{\sqrt {13} }}{3}.\)
Áp dụng định lý cosin cho tam giác \(IAM\) có:
\(IM = I{A^2} + A{M^2} – 2IA.AM.\cos {45^0}\)
\( = {\left( {\frac{8}{3}} \right)^2} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} – 2.\frac{8}{3}.\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{34}}{9} \Rightarrow IM = \frac{{\sqrt {34} }}{9}.\)
\(\cos \widehat {MNI} = \frac{{M{N^2} + I{N^2} – M{I^2}}}{{2.MN.IN}} = \frac{{1 + \frac{{13}}{9} – \frac{{34}}{9}}}{{2.1.\frac{{\sqrt {13} }}{3}}} = \frac{{ – 2\sqrt {13} }}{{13}}.\)
\(\sin \widehat {MNI} = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\widehat {MNI}} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}.\)
\({S_{MNI}} = \frac{1}{2}.MN.NI.\sin \widehat {MNI} = \frac{1}{2}.1.\frac{{\sqrt {13} }}{3}.\frac{3}{{\sqrt {13} }} = \frac{1}{2}.\)
\({V_{MNPQ}} = \frac{1}{3}.d\left( {P;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}} – \frac{1}{3}.d\left( {Q;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}}\)
\( = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}d\left( {S;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}} – \frac{1}{3}.\frac{1}{3}.d\left( {S;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}}\)
\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}d\left( {S;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}} = \frac{1}{9}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{MIN}}\)
Vì \(SA = SB = SC\) nên hình chiếu của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)
Mà tam giác \(ABC\) vuông tại B nên tam đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) chính là điểm \(M\).
Vậy \({V_{MNPQ}} = \frac{1}{9}.\sqrt 7 .\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 7 }}{{18}}.\)
Đáp án A
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Câu hỏi:
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A.2.
B.1.
C.4.
Đáp án chính xác
D. 3.
Trả lời:
Có 4 mặt phẳng đối xứng.
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?
Câu hỏi:
Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?
A.\(y = {x^3} – 2{x^2} – 3\)
B.\(y = 2{x^2} – 3.\)
C.\(y = {x^4} – 2{x^2} – 3.\)
Đáp án chính xác
D. \(y = – {x^4} + 2{x^2} – 3.\)
Trả lời:
Hình dạng bảng biến thiên là của hàm trùng phương nên chọn đáp án C hoặc D.
Nhìn và bnagr biến thiên thấy hệ số \(a >0\) nên chọn đáp án C.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Với các số thực dương \(a,b\) bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu hỏi:
Với các số thực dương \(a,b\) bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.\(\ln \frac{a}{b} = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}.\)
B.\(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a.\ln b.\)
C.\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b.\)
Đáp án chính xác
D. \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b.\)
Trả lời:
Với các số thực dương \(a,b\) bất kì ta có: \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b.\)
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?A.\(\left( {3;4} \right).\)
B.\(\left( {2;4} \right).\)
C.\(\left( { – \infty ; – 1} \right).\)
D. \(\left( {1;3} \right).\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
\(f’\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right).\) Dấu “=” xảy ra một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right).\)
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số đồng biến trên \(\left( {1;3} \right).\)
Đáp án D====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 4 bạn học sinh vào dãy có 4 ghế?
Câu hỏi:
Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 4 bạn học sinh vào dãy có 4 ghế?
A.4.
B.12.
C.8.
D. 24.
Đáp án chính xác
Trả lời:
Số cách sắp xếp chỗ ngồi cho 4 bạn học sinh vào dãy có 4 ghế là số hoán vị của 4 phần tử \({P_4} = 4! = 24.\)
Đáp án D====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====