Cho hình chóp S.ABC có SA = 4, AB = 2, AC = 1 và SA⊥ABC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt cầu tâm O đi qua A và cắt các tia SB, SC lần lượt tại D và E. Khi độ dài đoạn thẳng BC thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ADE là:

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có SA = 4, AB = 2, AC = 1 và $SA\perp \left(ABC\right)$. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt cầu tâm O đi qua A và cắt các tia SB, SC lần lượt tại D và E. Khi độ dài đoạn thẳng BC thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ADE là:

A. $\frac{64}{85}$

B. $\frac{8}{3}$

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{256}{255}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Kẻ đường kính AM của (O)
Ta có $\left\{\begin{array}{l}BM\perp AB\\ BM\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BM\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BM\perp AD.$
Lại có $AD\perp DM$ (góc nội tiếp chắn nửa mặt cầu) $\Rightarrow AD\perp \left(SBM\right)\Rightarrow AD\perp SB.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $\frac{SD}{SB}=\frac{S{A}^2}{S{B}^2}=\frac{S{A}^2}{S{A}^2+A{B}^2}=\frac{4^2}{4^2+2^2}=\frac{4}{5}.$
Ta có $AD\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AD\perp DE\Rightarrow \Delta ADE$ vuông tại D
Chứng minh tương tự ta có $AE\perp \left(SCM\right)\Rightarrow AE\perp SC.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $\frac{SE}{SC}=\frac{S{A}^2}{S{C}^2}=\frac{S{A}^2}{S{A}^2+A{C}^2}=\frac{4^2}{4^2+1^2}=\frac{16}{17}.$
Khi đó ta có $\frac{V_{S.ADE}}{V_{S.ABC}}=\frac{SD}{SB}.\frac{SE}{SC}=\frac{4}{5}.\frac{16}{17}=\frac{64}{85}\Rightarrow V_{S.ADE}=\frac{64}{85}{V}_{S.ABC}.$
Do đó $V_{S.ADE}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $V_{S.ABC}$ đạt giá trị lớn nhất.
Ta có $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{ABC}=\frac{1}{6}SA.AB.SC.\sin \angle BAC=\frac{1}{6}\mathrm{.4.2.1.}\sin \angle BAC=\frac{4}{3}\sin \angle BAC$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \angle BAC=1\iff \angle BAC={90}^0.$
Khi đó $\max V_{S.ABC}=\frac{4}{3}\Rightarrow \max V_{S.ADE}=\frac{256}{255}.$
Chọn D.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai số phức z1=1+2i và z2=−2+i. Điểm M biểu diễn số phức w=z1z2 có tọa độ là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai số phức $z_1=1+2i$ và $z_2=-2+i.$ Điểm M biểu diễn số phức $w=\frac{z_1}{z_2}$ có tọa độ là 

   A. M(-1; 0)

   B. M(0; -1)

   Đáp án chính xác

   C. M(0; 1)

   D. M(1; 0)

   Trả lời:

   Ta có: $w=\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+2i}{-2+i}=-i.$
   Vậy điểm M biểu diễn số phức $w=\frac{z_1}{z_2}$ có tọa độ là: M(0; -1)

   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=ax4+bx2+2 tại điểm A(-1; 1) vuông góc với đường thẳng x−2y+3=0. Tính a2−b2. 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+2$ tại điểm A(-1; 1) vuông góc với đường thẳng $x-2y+3=0.$ Tính $a^2-b^2.$ 

   A. $a^2-b^2=-2$

   B. $a^2-b^2=10$

   C. $a^2-b^2=13$

   D. $a^2-b^2=-5$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Ta có: $y‘=4a{x}^3+2bx.$
   $\Rightarrow$ tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+2$ tại điểm A(-1; 1) có hệ số góc là k = -4a – 2b
   Vì tiếp tuyến tại A(-1; 1) vuông góc với đường thẳng $x-2y+3=0\iff y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ nên 
   $k.\frac{1}{2}=-1\iff k=-2.$
   Lại có điểm A(-1; 1) thuộc đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+2$ nên $a+b+2=1\iff a+b=-1\left(2\right).$
   Từ (1) và (2) ta có: a = 2; b = -3
   Vậy $a^2-b^2=2^2-{\left(-3\right)}^2=-5.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng d:x=1−ty=−2+tz=−1+2t? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2+t\\ z=-1+2t\end{array}\right.?$ 

   A. M(0; -1; 1)

   B. $Q\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{2};0\right)$

   C. P(3; -4; -5)

   D. $N\left(\frac{3}{2};-\frac{5}{2};2\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Thay tọa độ điểm $N\left(\frac{3}{2};-\frac{5}{2};2\right)$ vào phương trình đường thẳng ta có: $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}=1-t\\ -\frac{5}{2}=-2+t\\ 2=-1+2t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=-\frac{1}{2}\\ t=-\frac{1}{2}\\ t=\frac{3}{2}\end{array}\right.\Rightarrow t\in \varnothing .$
   Vậy $N\notin d.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho số phức z thỏa mãn z+2−i=5. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=1+2iz là một đường tròn tâm I(a; b) và bán kính  Tính a + b + R.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số phức z thỏa mãn $\left|z+2-i\right|=\sqrt{5}.$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\left(1+2i\right)z$ là một đường tròn tâm I(a; b) và bán kính  Tính a + b + R.

   A. $a+b+R=12.$

   B. $a+b+R=–2.$

   Đáp án chính xác

   C. $a+b+R=7+\sqrt{5}$

   D. $a+b+R=–7+\sqrt{5}$

   Trả lời:

   Theo bài ra ta có: $w=\left(1+2i\right)z\Rightarrow z=\frac{w}{1+2i}.$
   Khi đó ta có:
        $\left|z+2-i\right|=\sqrt{5}$
   $\iff \left|\frac{w}{1+2i}+2-i\right|=\sqrt{5}$
   $\iff \left|\frac{w+\left(2-i\right)\left(1+2i\right)}{1+2i}\right|=\sqrt{5}$
   $\iff \frac{\left|w+\left(2-i\right)\left(1+2i\right)\right|}{\left|1+2i\right|}=\sqrt{5}$
   $\iff \left|w+4+3i\right|=5$
   $\Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\left(1+2i\right)z$ là một đường tròn tâm I(-4; 3) và bán kính R = 5.
   Vậy $a+b+R=-4-3+5=-2.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [0; 2]; f(0) = 1 và ∫02f’xdx=−3. Tính f(2).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [0; 2]; f(0) = 1 và $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f‘\left(x\right)dx=-3.$ Tính f(2).

   A. f(2) = -4

   B. f(2) = -3

   C. f(2) = -2

   Đáp án chính xác

   D. f(2) = 4

   Trả lời:

   $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f‘\left(x\right)dx=f\left(2\right)-f\left(0\right)\Rightarrow f\left(2\right)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f‘\left(x\right)dx+f\left(0\right)=-2.$
    
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====