Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông cạnh a, SA=a2 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng α qua A và M đồng thời song song với đường thẳng BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây?

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông cạnh $a, SA=a\sqrt{2}$ và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua A và M đồng thời song song với đường thẳng BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây?

A. a

B. $\frac{a}{2}.$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Đáp án chính xác

D. $a\sqrt{2}.$

Trả lời:

Chọn C

Gọi I là giao điểm của AM và SO.
Dễ thấy I là trọng tâm tam giác SAC và I, E, F thẳng hàng.
Lại có $\frac{SF}{SD}=\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}\Rightarrow SF=\frac{2}{3}SD$
$\begin{array}{l}\Rightarrow SF.SD=\frac{2}{3}S{D}^2=\frac{2}{3}\left(S{A}^2+A{D}^2\right)=2a^2\\ \Rightarrow SF.SD=S{A}^2.\end{array}$

Xét tam giác vuông SAD có $SF.SD=S{A}^2\Rightarrow AF$ là đường cao tam giác $AF\perp SF.$
Chứng minh tương tự ta có $AE\perp SB.$
Tam giác $SA=AC=a\sqrt{2}$ nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao tam giác $AM\perp SC.$
Ta có $\left\{\begin{array}{l}AM\perp SM\\ AF\perp SF\\ AE\perp SE\end{array}\right.$ nên mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F có tâm là trung điểm SA và bán kính bằng $\frac{SA}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====