Cho hàm số y=f(x)=ax3+bx2+cx+d. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ là −1, 13, 12. Hỏi phương trình f[sin(x2)]=f(0) có bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π;π].

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ là $-\mathrm{1,}\frac{1}{3},\frac{1}{2}$. Hỏi phương trình $f\left[\sin \left(x^2\right)\right]=f\left(0\right)$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[-\sqrt{\pi };\sqrt{\pi }]$.

A. 3.

B. 5.

C. 7.

Đáp án chính xác

D. 9.

Trả lời:

Chọn C.
Vì đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên f(x) là hàm số bậc 3
\( \Rightarrow a \ne 0.\)
Từ giả thiết ta có: $f\left(x\right)=a(x+1)(x-\frac{1}{3})(x-\frac{1}{2})\iff f\left(x\right)=\frac{1}{6}a(6x^3+x^2-4x+1).$
Khi đó: $y‘=\frac{1}{6}a(18x^2+2x-4)=0\iff x=\frac{-1\pm \sqrt{73}}{18}$
Suy ra đồ thị hàm số y=f(x) có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục tung.
Từ đó ta có phương trình $f\left[\sin \left(x^2\right)\right]=f\left(0\right)\iff [\begin{array}{l}\sin \left(x^2\right)=a_1\in (-1;0)\left(1\right)\\ \sin \left(x^2\right)=0\left(2\right)\\ \sin \left(x^2\right)=a_2\in (\frac{1}{2};1]\left(3\right)\end{array}$
* Giải (1)
Vì $x\in [-\sqrt{\pi };\sqrt{\pi }]$ nên $x^2\in [0;\pi ]\Rightarrow \sin \left(x^2\right)\in [0;1].$ Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) không có nghiệm thỏa mãn đề bài.
* $\left(2\right)\iff x^2=k\pi .$
Vì $x^2\in [0;\pi ]$ nên ta phải có $0\le k\pi \le k,\pi \in \mathbb{Z}\iff 0\le k\le \mathrm{1,}k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \{0;1\}.$
Suy ra phương trình (2) có 3 nghiệm thỏa mãn là: $x_1=-\sqrt{\pi };x_2=0;x_3=\sqrt{\pi }.$
* $\left(3\right)\iff [\begin{array}{l}{x}^2=\arcsin a_2+k2\pi \\ x^2=\pi -\arcsin a_2+k2\pi \end{array},$(với $\arcsin a_2\in [\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}]).$
Vì $x^2\in [0;\pi ]$ nên ta thấy phương trình (3) có các nghiệm thỏa mãn là $x=\pm \sqrt{\arcsin a_2}$ và $x=\pm \sqrt{\pi -\arcsin a_2}.$
Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Đường cong sau là đồ thị của một trong các hàm số cho dưới đây. Đó là hàm số nào? Chọn D.Ta có nên do đó loại đáp án A và C.Đồ thị hàm số đi qua điểm nên thay vào đáp án B và D ta thấy
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong sau là đồ thị của một trong các hàm số cho dưới đây. Đó là hàm số nào? Chọn D.Ta có nên do đó loại đáp án A và C.Đồ thị hàm số đi qua điểm nên thay vào đáp án B và D ta thấy

   A. .

   B. .

   C.

   D. .

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D: \(2 = {\left( { – 1} \right)^3} – 3\left( { – 1} \right)\) (luôn đúng).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số y=x3−3mx2+mx+2 có hai điểm cực trị.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+mx+2$ có hai điểm cực trị.

   A. $[\begin{array}{c}m>\frac{1}{3}\\ m<0\end{array}$

   Đáp án chính xác

   B. $[\begin{array}{c}m>3\\ m<0\end{array}$

   C. $[\begin{array}{c}m\ge \frac{1}{3}\\ m\le 0\end{array}$

   D. $[\begin{array}{c}m\ge 3\\ m\le 0\end{array}$

   Trả lời:

   Chọn A.
   Ta có $y=x^3-3m{x}^2+mx+2\Rightarrow y‘=3x^2-6mx+m.$
   Hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow y’\) có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta ‘=9m^2-3m>0\iff [\begin{array}{l}m>\frac{1}{3}\\ m<0\end{array}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Đường cong sau là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số đã cho dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong sau là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số đã cho dưới đây?
   

   A. $y=\frac{x}{1-x}$

   B. $y=\frac{x}{x-1}$

   C. $y=\frac{1-x}{x}$

   D. $y=\frac{x-1}{x}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D.
   Từ đồ thị ta thấy, tiệm cận ngang là đường thẳng y=1 nên loại đáp án C và A.
   Đồ thị đi qua điểm A(1;0), nên chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SA vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp SABCD là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SA vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp SABCD là

   A. $2a^3$

   B. $4a^3$

   C. $\frac{2}{3}{a}^3$

   D. $\frac{4}{3}{a}^3$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D.
   $S_{ABCD}=4a^2;V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.SA=\frac{1}{3}4a^2.a=\frac{4}{3}{a}^3.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y=x4+bx2+c có đồ thị như hình vẽ sau: . Tính tổng b+c.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=x^4+b{x}^2+c$ có đồ thị như hình vẽ sau:
   .
   Tính tổng b+c.

   A. -3

   B. -5

   Đáp án chính xác

   C. -1

   D. -4

   Trả lời:

   Chọn B.
   Dựa vào đồ thị ta có:
   * $x=0;y=-3\Rightarrow c=-3$
   * Hàm số có đạt cực trị tại $x=0;x=\pm 1\Rightarrow y‘=4x^3+2bx=0$ có các nghiệm là $x=0;x=\pm 1\Rightarrow 4+2b=0\Rightarrow b=-2$
   Vậy b+c=5

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====