Cho hàm số y= x4- 2mx2+m   (1) với m là tham số thực. Gọi (C) là đồ thị hàm số (1); d là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ điểm B( ¾; 1)  đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất?

Câu hỏi:

Cho hàm số y= x⁴– 2mx²+m   (1) với m là tham số thực. Gọi (C) là đồ thị hàm số (1); d là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ điểm B( ¾; 1)  đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất?

A.  0

B.  1

Đáp án chính xác

C.  2

D. 3

Trả lời:

+ Do A thuộc (C ) nên  A(1; 1-m) .
Đạo hàm y’ = 4x³ – 4mx nên y’ (1) = 4 – 4m .
+ Phương trình tiếp tuyến của (C)  tại A  là y – 1+ m = y’(1).(x-1),
 Hay (4 – 4m).x – y – 3(1 – m) = 0.
+ Khi đó $d(B;∆)=\frac{\left|–1\right|}{\sqrt{16{(1–m)}^2+1}}\le 1$ ,
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi khi  m = 1.
Do đó khoảng cách từ  B đến ∆ lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m= 1.
Chọn  B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=x4-(3m+4) x2+ m2 có đồ thị là C. Có mấy giá trị nguyên của m để đồ thị C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y=x⁴-(3m+4) x²+ m² có đồ thị là C. Có mấy giá trị nguyên của m để đồ thị C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

   A. 0

   B. 1

   Đáp án chính xác

   C. 2

   D. 3

   Trả lời:

   Phương trình hoành độ giao điểm: x⁴-(3m+4) x²+ m² = 0       ( 1)
   Đặt t= x², phương trình trở thành: t²-(3m+4)t+ m² = 0       ( 2)
   C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi ( 1) có bốn nghiệm phân biệt
   Khi đó ( 2) có hai nghiệm dương phân biệt 
   
   + Khi đó phương trình *(2) có hai nghiệm 0<t₁< t₂. Suy ra phương trình (1)  có bốn nghiệm phân biệt là $x_1=–\sqrt{t_2}<x_2=–\sqrt{t_1}<x_3=\sqrt{t_1}<x_4=\sqrt{t_2}$ . Bốn nghiệm x₁; x₂; x₃; x₄ lập thành cấp số cộng
   $\iff x_2–x_1=x_3–x_2=x_4–x_3\iff –\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}=2\sqrt{t_1}\iff \sqrt{t_2}=3\sqrt{t_1}\iff t_2=9t_{1 } \left(3\right)$
   Theo định lý Viet ta có $\left\{\begin{array}{l}{t}_1+t_2=3m+4 \left(4\right)\\ t_1{t}_2=m^2 \left(5\right)\end{array}\right.$
   Từ (3) và (4) ta suy ra được $\left\{\begin{array}{l}{t}_1=\frac{3m+4}{10}\\ t_2=\frac{9(3m+4)}{10}\end{array} \left(6\right).\right.$
   Thay (6) vào  (5)  ta được 
    
   Vậy giá trị m  cần tìm làm =12; m= -12/ 19
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho phương trình x3- 3×2+ 1- m=0  (1) . Điều kiện của tham số m để (1) có ba nghiệm phân biệt thỏa m ãn x1&lt; 1&lt; x2&lt;x3  khi
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho phương trình x³– 3x²+ 1- m=0  (1) . Điều kiện của tham số m để (1) có ba nghiệm phân biệt thỏa m ãn x₁< 1< x₂<x₃  khi

   A. m =- 1

   B.-1< m< 3

   C. -3< m< -1

   Đáp án chính xác

   D. m> -3

   Trả lời:

   Ta có x³– 3x²+ 1- m=0   là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số
    y= x³– 3x²+ 1  và y= m (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox).
   +Xét   y= x³– 3x²+ 1  .
   Đạo hàm  y’ = 3x²– 6x
   Ta có  y’=0$\iff$3x²– 6x=0
    
   Khi  x= 1 thì y= -1 
   Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán khi và chỉ khi -3< m< -1 .
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho đồ thị C: y= 2×3-3×2-1. Gọi d là đường thẳng qua A( 0; -1) có hệ số góc bằng k . Tất cả giá trị k  để  C cắt d tại ba điểm phân biệt là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đồ thị C: y= 2x³-3x²-1. Gọi d là đường thẳng qua A( 0; -1) có hệ số góc bằng k . Tất cả giá trị k  để  C cắt d tại ba điểm phân biệt là

   A. $\left\{\begin{array}{l}k<\frac{9}{8}\\ k\ne 0\end{array}\right.$

   B. $\left\{\begin{array}{l}k>–\frac{9}{8}\\ k\ne 0\end{array}\right.$

   Đáp án chính xác

   C. $\left\{\begin{array}{l}k<–\frac{9}{8}\\ k\ne 0\end{array}\right.$

   D. $\left\{\begin{array}{l}k>\frac{9}{8}\\ k\ne 0\end{array}\right.$

   Trả lời:

   + Phương trình đường thẳng d có dang d: y= kx-1  .
   Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C  và đường thẳng d:
   $2x^3–3x^2–1=kx–1 hay x(2x^2–3x–k)=0\iff$
   + Để  C cắt d  tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi  phương trình (2)  có hai nghiệm phân biệt khác 0
   $\iff \left\{\begin{array}{l}∆>0\\ 0–k\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k>–\frac{9}{8}\\ k\ne 0\end{array}\right.$
   Vậy chọn $\left\{\begin{array}{l}k>–\frac{9}{8}\\ k\ne 0\end{array}\right.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Với những giá trị nào của tham số m thì (C) : y= x3- 3( m+ 1) x2+ 2( m 2+ 4m+1 ) x-4m( m+1 )  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với những giá trị nào của tham số m thì (C) : y= x³– 3( m+ 1) x²+ 2( m ²+ 4m+1 ) x-4m( m+1 )  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1?

   A. $\frac{1}{2}<m\ne 1$

   Đáp án chính xác

   B. m< 1

   C. m> 1/2

   D. m≠ 1

   Trả lời:

   + Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C  và trục Ox:
   x³– 3(m + 1) x²+ 2(m ² + 4m + 1)x – 4m(m + 1)= 0
   hay ( x- 2) [x²-( 3m+ 1) x+ 2m²+ 2m] =0
   
   Yêu cầu bài toán
    
   Vậy ½< m và m≠ 1.
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Hỏi phương trình 3×2- 6x+ ln( x+1)3+1=0  có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hỏi phương trình 3x²– 6x+ ln( x+1)³+1=0  có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

   A. 2.

   B. 1.

   C. 3.

   Đáp án chính xác

   D. 4.

   Trả lời:

   Điều kiện: x> -1
   Ta có: 3x²– 6x+ ln( x+1)³+1=0   hay 3x²– 6x+ 3ln( x+1)+1=0 
   f(x)=3x²– 6x+ 3ln(x + 1) + 1$\Rightarrow f‘\left(x\right)=6x–6+\frac{3}{x+1}$
   Đạo hàm f’ (x) = 0 khi và chỉ khi (2x- 2)(x+ 1) +1=0
   $\iff x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$
    

   Từ đây, ta có bảng biến thiên của f(x):
   
    
   Nhìn vào bảng biến thiên ta sẽ có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====