Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn fx+h−fx−h≤h2, ∀x∈ℝ, ∀h>0 . Đặt gx=x+f’x2019+x+f’x29−m−m4−29m2+100sin2x−1 , m là tham số nguyên và m

Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn $\left|f\left(x+h\right)-f\left(x-h\right)\right|\le h^2,\forall x\in ℝ,\forall h>0$ . Đặt $g\left(x\right)={\left[x+f‘\left(x\right)\right]}^{2019}+{\left[x+f‘\left(x\right)\right]}^{29-m}-\left(m^4-29m^2+100\right){\sin }^{2}x-1$ , m là tham số nguyên và m<27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số g(x) đạt cực tiểu tại x=0. Tính tổng bình phương các phần tử của S.

A. 100.

Đáp án chính xác

B. 50.

C. 108.

D. 58.

Trả lời:

Đáp án A
Từ giả thiết ta có:  $\frac{\left|f\left(x+2h\right)-f\left(x\right)\right|}{\left(x+2h\right)-x}\le \frac{h}{2},\forall h>0$ .
$\Rightarrow 0\le \lim h\to 0\frac{\left|f\left(x+2h\right)-f\left(x\right)\right|}{\left(x+2h\right)-x}\le \lim h\to 0\frac{h}{2}=0\Rightarrow f‘\left(x\right)=\mathrm{0,}\forall x\in ℝ\Rightarrow f\left(x\right)=C$(C là hằng số).
Ta có: $\begin{array}{l}g‘\left(x\right)=2019{\left[x+f‘\left(x\right)\right]}^{2018}\left[1+f‘‘\left(x\right)\right]+\left(29-m\right){\left[x+f‘\left(x\right)\right]}^{28-m}\left[1+f‘‘\left(x\right)\right]-\left(m^4-29m^2+100\right)\sin 2x\\ =2019x^{2018}+\left(29-m\right)x^{28-m}-\left(m^4-29m^2+100\right)\sin 2x\end{array}$
$g‘‘\left(x\right)=\mathrm{2019.2018.}{x}^{2017}+\left(29-m\right)\left(28-m\right)x^{27-m}-2\left(m^4-29m^2+100\right)\cos 2x$.
Khi đó: $\begin{array}{l}g‘\left(0\right)=0;g‘‘\left(0\right)=-2\left(m^4-29m^2+100\right).\\ g‘‘\left(0\right)>0\iff m^4-29m^2+100<0\iff 4<m^2<25\iff \left[\begin{array}{l}-5<m<-2\\ 2<m<5\end{array}\right..\end{array}$
TH1: m=2, ta có:$g‘\left(x\right)=2019x^{2018}+27x^{26}=x^{26}\left(2019x^{1992}+27\right)$ .
Vì x=0 là nghiệm bội chẵn của phương trình g'(x)=0   nên trường hợp này loại.
TH2: m=5 ta có: $g‘\left(x\right)=2019x^{2018}+24x^{23}=x^{23}\left(2019x^{1995}+24\right)$ .
TH3: m=-2, ta có: $g‘\left(x\right)=2019x^{2018}+31x^{30}=x^{30}\left(2019x^{1988}+31\right)$ .
Vì x=0 là nghiệm bội chẵn của phương trình g'(x)  nên m=-2 không thỏa mãn.
TH4:m=5  ta có: $g‘\left(x\right)=2019x^{2018}+24x^{23}=x^{23}\left(2019x^{1995}+24\right)$ .
Do  đổi dấu từ âm sang dương khi qua  nên hàm số  đạt cực tiểu tại .
TH5: ta có: .
Do g'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x=0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0.
Vậy $m\in S=\left\{-5;-4;-3;3;4;5\right\}$  nên tổng các bình phương của các phần tử của S là 100.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Thể tích khối lập phương tăng thêm bao nhiêu lần nếu độ dài cạnh của nó tăng gấp đôi?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích khối lập phương tăng thêm bao nhiêu lần nếu độ dài cạnh của nó tăng gấp đôi?

   A. 8.

   B. 7.

   Đáp án chính xác

   C. 1.

   D. 4.

   Trả lời:

   Đáp án B
   Giả sử cạnh ban đầu là a thì cạnh lúc sau là 2a.
   Có thể tích tăng thêm là: $\Delta V=V_2-V_1={\left(2a\right)}^3-a^3=7a^3=7V_1$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hàm số y=2×3−x2+5  có điểm cực đại là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=2x^3-x^2+5$  có điểm cực đại là

   A. $x=\frac{1}{3}.$

   B. x=0

   Đáp án chính xác

   C. M(0;5)

   D. y=5

   Trả lời:

   Đáp án B
   TXĐ: $D=ℝ$  .
   Ta có: $\left\{\begin{array}{l}y‘=6x^2-2x\\ y‘‘=12x-2\end{array}\right..$
   Ta lại có: $y‘=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1}{3}\end{array}\right..$
   Nhận thấy: $y‘‘\left(0\right)=-2<0\Rightarrow x=0$  là điểm cực đại của hàm số.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu u→  là véctơ chỉ phương của trục Oy thì
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu $\overrightarrow{u}$  là véctơ chỉ phương của trục Oy thì

   A. $\overrightarrow{u}$  cùng hướng với $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$ .

   Đáp án chính xác

   B. $\overrightarrow{u}$  cùng phương với $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$ .

   C. $\overrightarrow{u}$  cùng hướng với  $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$.

   D. $\overrightarrow{u}$  cùng phương với $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$ .

   Trả lời:

   Đáp án B
   Trục Oy có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$  .
   Mà $\overrightarrow{u}$  cũng là véctơ chỉ phương của trục Oy nên $\overrightarrow{u}$   cùng phương với véctơ $\overrightarrow{j}$  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên −∞;+∞ ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ ?

   A.  $y=-x^4+3x^2-2x+1.$

   B. $y=\frac{x+1}{2x-2}.$

   C.  $y=-x^3+x^2-2x+1.$       

   Đáp án chính xác

   D. $y=x^3+3.$

   Trả lời:

   Đáp án C
   Loại A và B vì hàm bậc bốn và hàm bậc nhất trên bậc nhất không bao giờ đơn điệu trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ .
   Xét hàm $y=-x^3+x^2-2x+1$  .
   TXĐ: D=R.
   Ta có: $y‘=-3x^2+2x-2=-3\left[{\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{5}{9}\right]<\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$ .
   Suy ra hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ .
   Xét hàm: $y=x^3+3$ .
   TXĐ: D=R.
   Ta có: $y‘=3x^2\ge 0$ ; suy ra hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho a, b là các số thực dương, a≠1  và n≠0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho a, b là các số thực dương, $a\ne 1$  và $n\ne 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

   A. ${\log }_{a^n}b={\log }_a{b}^n.$      

   Đáp án chính xác

   B. ${\log }_{a^n}b={\log }_{a}bn.$

   C. ${\log }_{a^n}b={\log }_a^n{b}^{}.$

   D. ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b.$

   Trả lời:

   Đáp án D
   Ta có: ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$ .
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====