Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [-1;1] và thỏa mãn f(1) = 0,f'(x)2+4f(x)=8×2+16x−8 với mọi x thuộc [-1;1]. Giá trị của ∫01fxdx  bằng

Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [-1;1] và thỏa mãn f(1) = 0,$\left(f^{‘}{\left(x\right)}^2+4f\left(x\right)\right)=8{\text{x}}^2+16\text{x}-8$ với mọi x thuộc
[-1;1]. Giá trị của $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$  bằng

A. $-\frac{5}{3}$

Đáp án chính xác

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\frac{–1}{3}$

Trả lời:

Ta có:
${\left(f^{‘}\left(x\right)\right)}^2+4f\left(x\right)=8{\text{x}}^2+16\text{x}-8\Rightarrow \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{‘}\left(x\right)\right]}^{2}d\text{x}+2\underset{-1}{\overset{1}{\int }}2f\left(x\right)d\text{x}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(8{\text{x}}^2+16\text{x}-8\right)d\text{x}$ (1).
Xét $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}2f\left(x\right)d\text{x}$, đặt $\left\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\\ dv=2\text{dx}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=f^{‘}\left(x\right)d\text{x}\\ v=2\text{x}+2\end{array}\right.$.
Do đó $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}2f\left(x\right)d\text{x}={\left.\left(2\text{x}+2\right)f\left(x\right)\right|}_{-1}^1-\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(2\text{x}+2\right)f^{‘}\left(x\right)d\text{x}=-\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(2x+2\right)f^{‘}\left(x\right)d\text{x}$.
Từ (1) suy ra $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{‘}\left(x\right)\right]}^{2}d\text{x}+2\underset{-1}{\overset{1}{\int }}2f\left(x\right)d\text{x}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(8{\text{x}}^2+16\text{x}-8\right)d\text{x}$

$\iff \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{‘}\left(x\right)\right]}^{2}d\text{x}-2\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(2\text{x}+2\right)f^{‘}\left(x\right)d\text{x}+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left(2\text{x}+2\right)}^{2}d\text{x}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(12{\text{x}}^2+24\text{x}-4\right)d\text{x}$
$\iff \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{‘}\left(x\right)-\left(2\text{x}+2\right)\right]}^{2}d\text{x}=0\Rightarrow f^{‘}\left(x\right)=2\text{x}+2\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+2\text{x}+C$.
Vì f(1)=0 nên C=-3. Suy ra $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2+2\text{x}-3\right)d\text{x}=-\frac{5}{3}$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=x−13 . Khẳng định nào sau đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=x^{-\frac{1}{3}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

   A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận.

   B. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.

   C. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng.

   D. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Tập xác định $D=\left(0;+\infty \right)$.
   Ta có: $\lim x\to 0^{+}{x}^{-\frac{1}{3}}=+\infty ,\lim x\to +\infty x^{-\frac{1}{3}}=0$.
   Đồ thị hàm số $y=x^{-\frac{1}{3}}$ nhận Oy là tiệm cận đứng và nhận Ox là tiệm cận ngang

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho số phức z=3+11i2 . Tính z .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số phức $z=\frac{3+\sqrt{11}i}{2}$ . Tính $\left|z\right|$ .

   A. $\left|z\right|=3$

   B.$\left|z\right|=5$

   C. $\left|z\right|=2$

   D. $\left|z\right|=\sqrt{5}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số y=fx  là hàm bậc bốn trùng phương có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  là hàm bậc bốn trùng phương có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
   

   A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(2;3\right)$ .

   B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-2;2\right)$  .

     C. Hàm số nghịch biến trên khoảng$\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(0;2\right)$ .

     D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(4;+\infty \right)$ .

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: Khẳng định nào sau đây sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:
   
   Khẳng định nào sau đây sai?

   A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-2;-1\right)$

   B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(1;3\right)$ .

   C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$

   D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;1\right)$ .

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-2;-1\right)$ và (1;3); nghịch biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Họ nguyên hàm của hàm số fx=1x+1  là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$  là

   A. $-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}+C$

   B.$-\ln \left|x+1\right|+C$

   C. $-\frac{1}{2}\ln {\left(x+1\right)}^2+C$

   D. $\ln \left|x+1\right|+C$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====