Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1+z2=6 và z1−z2=2. Gọi M, m  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z1+z2. Khi đó môđun của số phức M + mi là

Câu hỏi:

Cho hai số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left|z_1+z_2\right|=6$ và $\left|z_1-z_2\right|=2$. Gọi M, m  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$. Khi đó môđun của số phức M + mi là

A. $\sqrt{76}$

Đáp án chính xác

B. 76

C. $2\sqrt{10}$

D. $2\sqrt{11}$

Trả lời:

Chọn A

Ta gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức $z_1, z_2$
Từ giả thiết $\left|z_1+z_2\right|=6\Rightarrow \left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=6\iff \left|\overrightarrow{OI}\right|=3$ với I là trung điểm của đoạn thẳng AB
$\left|z_1-z_2\right|=2\Rightarrow \left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right|=2\iff AB=2$
Ta có $O{A}^2+O{B}^2=2O{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}=20$
$P=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=OA+OB\Rightarrow P^2\le \left(1^2+1^2\right)\left(O{A}^2+O{B}^2\right)=40$
Vậy $\max P=2\sqrt{10}=M$
Mặt khác, $P=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\left|\overrightarrow{OA}\right|+\left|\overrightarrow{OB}\right|\ge \left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=6$
Vậy $\min P=6=m$
Suy ra $\left|M+mi\right|=\sqrt{40+36}=\sqrt{76}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====