Cho các số thực dương x, y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=4xy2x+x2+4y23

Câu hỏi:

Cho các số thực dương x, y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{4x{y}^2}{{\left(x+\sqrt{x^2+4y^2}\right)}^3}$

A. $\max P=1$

B. $\max P=\frac{1}{10}$

C. $\max P=\frac{1}{8}$

Đáp án chính xác

D. $\max P=\frac{1}{2}$

Trả lời:

Đáp án C$P=\frac{4x{y}^2}{{\left(x+\sqrt{x^2+4y^2}\right)}^3}=\frac{4{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}{{\left(1+\sqrt{1+4{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\right)}^3}\left(\forall x>0,y>0\right)$Đặt $t=\sqrt{1+4{\left(\frac{y}{x}\right)}^2},t>1$. Khi đó biểu thức trở thành $P\left(t\right)=\frac{t^2-1}{{\left(t+1\right)}^3}=\frac{t-1}{{\left(t+1\right)}^2}$ với t > 1$P‘\left(t\right)=\frac{-t^2+2t+3}{{\left(t+1\right)}^4}=0\iff t=3$Bảng biến thiên:Vậy $\max P=P\left(3\right)=\frac{1}{8}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x4−2mx2+2m−4 đi qua điểm N(−2;0)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=x^4-2m{x}^2+2m-4$ đi qua điểm $N(-2;0)$

   A. $m=-\frac{6}{5}$

   B. m = 1

   C. m =  2

   Đáp án chính xác

   D. m = -1

   Trả lời:

   Đáp án CĐồ thị hàm số đi qua điểm $N(-2;0)$Ta có: $0={\left(-2\right)}^4-2m{\left(-2\right)}^2+2m-4\iff m=2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng y=mx−4 cắt đồ thị của hàm số y=x2−1×2−9 tại bốn điểm phân biệt?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng $y=m\left(x-4\right)$ cắt đồ thị của hàm số $y=\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)$ tại bốn điểm phân biệt?

   A. 1

   B. 5

   Đáp án chính xác

   C. 3

   D. 7

   Trả lời:

   Đáp án BTa có phương trình hoành độ giao điểm$\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)=m\left(x-4\right)\Rightarrow \frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)}{\left(x-4\right)}=m\left(1\right)\left(x\ne 4\right)$Só nghiệm của (1) bằng số giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)}{\left(x-4\right)}$ và y = mTa có:$f‘\left(x\right)=\frac{2x\left(x^2-9\right)\left(x-4\right)+2x\left(x^2-1\right)\left(x-4\right)-\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}{{\left(x-4\right)}^2}=\frac{3x^4-16x^3-10x^2+80x-9}{{\left(x-4\right)}^2}f‘\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^4-16x^3-10x^2+80x-9=0$Giải phương trình ta được 4 nghiệm: $\left[\begin{array}{c}{x}_1\approx -2,169\\ x_2\approx 0,114\\ x_3\approx 2,45\\ x_4\approx 4,94\end{array}\right.$Bảng biến thiên:Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $\iff$ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)}{\left(x-4\right)}$ tại 4 điểm phân biệt $\iff m\in \left(-2,28;2,58\right)$Mà $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{-2;-1;0;1;2\right\}$Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn bài toán

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hàm số y=x+m3+x+n3−x3 (tham số m, n) đồng biến trên khoảng −∞;+∞. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4m2+n2−m−n bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y={\left(x+m\right)}^3+{\left(x+n\right)}^3-x^3$ (tham số m, n) đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4\left(m^2+n^2\right)-m-n$ bằng:

   A. -16

   B. 4

   C. $\frac{-1}{16}$

   Đáp án chính xác

   D. $\frac{1}{4}$

   Trả lời:

   Đáp án CTa có:$y‘=3{\left(x+m\right)}^2+3{\left(x+n\right)}^2-3x^2=3\left[x^2+2\left(m+n\right)x+m^2+n^2\right]$Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{c}a>0\\ \Delta ‘\le 0\end{array}\right.\iff mn\le 0$TH1: $mn=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ n=0\end{array}\right.$Do vai trò của m, n như nhau nên ta chỉ xét trường hợp m = 0$\Rightarrow P=4n^2-n={\left(2n-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{16}\ge -\frac{1}{16}\left(1\right)$TH2: $mn<0\iff m>0;n<0$ (do vai trò của m, n như nhau)Ta có: $P={\left(2m-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{16}+4n^2+\left(-n\right)>-\frac{1}{16}\left(2\right)$Từ (1) và (2) ta có $P_{\min }=-\frac{1}{16}$Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m=\frac{1}{8},n=0$ hoặc $m=0,n=\frac{1}{8}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f(x)Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y=fx−1+m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f(x)Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng:

   A. 12

   Đáp án chính xác

   B. 15

   C. 18

   D. 9

   Trả lời:

   Đáp án ANhận xét: Số giao điểm của $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ với Ox bằng số giao điểm của $\left(C‘\right):y=f(x-1)$ với Ox (vì đồ thị hàm số $\left(C‘\right):y=f(x-1)$ có được chỉ là do ta tịnh tiến đồ thị hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ sang phải 1 đơn vị)Vì m > 0 nên $\left(C‘‘\right):y=f(x-1)+m$ có được bằng cách tịnh tiến $\left(C‘\right):y=f(x-1)$ lên trên m đơn vịTa sẽ biện luận số giao điểm của $y=f(x-1)+m$ với trục Ox (cũng chính là giao điểm của $y=f(x-1)$ với y = – m) để suy ra cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$+ TH1: $-m\le -6\iff m\ge 6$Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có dạng:Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị. Loại+ TH2: $-6<-m<-3\iff 3<m<6$Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có dạng:Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị, nhận+TH3: $-m=3\iff m=3$Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có dạng:Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị, nhận+ TH4: $-3<-m<0\iff 0<m<3$Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có dạng:Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị, loạiVậy $3\le m<6$. Do $m\in Z^{+}\Rightarrow m\in \left\{3;4;5\right\}$Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=sin3−3cos2x−msinx−1 đồng biến trên đoạn 0;π2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y={\sin }^3-3{\cos }^{2}x-m\sin x-1$ đồng biến trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$

   A. m > -3

   B. $m\le 0$

   Đáp án chính xác

   C. $m\le -3$

   D. m > 0

   Trả lời:

   Đáp án BĐặt $\sin x=t,x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\Rightarrow t\in \left[0;1\right]$Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+3t^2-mt-4$ trên $\left[0;1\right]$Ta có $f‘\left(t\right)=3t^2+6t-m$Để hàm số f(t) đồng biến trên $\left[0;1\right]$ cần:$f‘\left(t\right)\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right]\iff 3t^2+6t-m\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right]\iff 3t^2+6t\ge m,\forall t\in \left[0;1\right]$Xét hàm số $g\left(t\right)=3t^2+6t$ trên $\left[0;1\right]$$g‘\left(t\right)=6t+6g‘\left(t\right)=0\iff t=-1\notin \left[0;1\right]$BBT:Nhìn bào BBT ta thấy với $m\le 0$ thì $g\left(t\right)\ge 0\ge m,\forall t\in \left[0;1\right]$, suy ra $f‘\left(t\right)\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right]$ hay f (t) đồng biến trên $\left[0;1\right]$Vậy với  thì hàm số đã cho đồng biến trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====