Cho các số thực a, b thỏa mãn log22020−2b2−2b2=log2a2+b2+1009+a2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P=a3+a2b+2ab2+2b3+1 thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Câu hỏi:

Cho các số thực a, b thỏa mãn ${\log }_2\left(2020-2b^2\right)-2b^2={\log }_2\left(a^2+b^2+1009\right)+a^2$ .
Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^3+a^{2}b+2a{b}^2+2b^3+1$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. (0;1)

Đáp án chính xác

B. (1;2)

C. (2;3)

D. (3;4)

Trả lời:

Đáp án A
ĐKXĐ: $2020-2b^2>0\iff b^2<1010\iff -\sqrt{1010}<b<\sqrt{1010}$
+ Theo đề bài ra, ta có:
${\log }_2\left(2020-2b^2\right)-2b^2={\log }_2\left(a^2+b^2+1009\right)+a^2$
$\iff 1+{\log }_2\left(1010-b^2\right)-2b^2={\log }_2\left(a^2+b^2+1009\right)+a^2$
$\iff {\log }_2\left(1010-b^2\right)+1010-b^2={\log }_2\left(a^2+b^2+1009\right)+a^2+b^2+1009\left(1\right)$
Xét hàm số sau: $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t\left(t>0\right)$
Ta thấy: $f^{‘}\left(t\right)=\frac{1}{t.\ln 2}+1>0,$  suy ra hàm số $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$  đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$
Do đó:
$\left(1\right)\iff 1010-b^2=a^2+b^2+1009$
$\iff a^2+2b^2=1$
+ Khi đó: $P=a^3+a^{2}b+2a{b}^2+2b^3+1=\left(a+b\right)\left(a^2+2b^2\right)+1=a+b+1$
Áp dụng định lí Bunhiacopski cho bộ hai số $\left\{a;\sqrt{2}b\right\}$  và $\left\{1;\frac{1}{\sqrt{2}}\right\},$  ta có:
${\left(a+b\right)}^2\le \left(a^2+2b^2\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$
 
(Dấu “=” xảy ra khi )
 $\Rightarrow -\sqrt{\frac{3}{2}}\le a+b\le \sqrt{\frac{3}{2}}$
Do đó: $P=a+b+1\le \sqrt{\frac{3}{2}}+1\in \left(2;3\right)$
Suy ra: $MinP=\sqrt{\frac{3}{2}}+1\in \left(2;3\right)$  khi $a=\frac{\sqrt{6}}{3},b=\frac{\sqrt{6}}{6}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Số phức liên hợp của số phức 1- 4i là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số phức liên hợp của số phức 1- 4i là

   A. -1+ 4i

   B. -1 – 4i

   C. 1+ 4i

   Đáp án chính xác

   D. – 4+ i

   Trả lời:

   Đáp án C
   Số phức liên hợp của số phức 1- 4i là 1+ 4i.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho ∫01fxdx=2  và ∫01gxdx=−3.  Tính I=∫01fx+gxdx.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=2$  và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=-3.$  Tính $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx.$

   A. I = -1

   Đáp án chính xác

   B. I = -4

   C. I = 8

   D. I = 5

   Trả lời:

   Đáp án A
   Ta có $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=-1.$ 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P:x−2y+3=0.  Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+3=0.$  Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

   A. $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;0\right).$

   Đáp án chính xác

   B. $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;3\right).$

   C. $\overrightarrow{n}=\left(1;0;-2\right).$

   D. $\overrightarrow{n}=\left(3;-2;1\right).$

   Trả lời:

   Đáp án A
   Mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+3=0$ có một VTPT $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;0\right).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
   

   Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

   A. $\left(1;+\infty \right).$

   Đáp án chính xác

   B. $\left(-\infty ;2\right).$

   C. $\left(-1;1\right).$

   D. $\left(-2;+\infty \right).$

   Trả lời:

   Đáp án A
   Hàm số f(x) đồng biến trên $\left(1;+\infty \right).$ 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Với a là số thực dương tùy ý, log3a4  bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với a là số thực dương tùy ý, ${\log }_3{a}^4$  bằng

   A. $\frac{1}{4}{\log }_{3}a.$

   B. $\frac{1}{4}+{\log }_{3}a.$

   C. $4{\log }_{3}a.$

   Đáp án chính xác

   D. $4+{\log }_{3}a.$

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có ${\log }_3{a}^4=4{\log }_{3}a.$ 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====