Cho các số phức z và w thỏa mãn 3-iz=zw-1+1-i. Tìm GTLN của T=w+i.

Câu hỏi:

Cho các số phức z và w thỏa mãn $\left(3–i\right)\left|z\right|=\frac{z}{w–1}+1–i$. Tìm GTLN của $T=\left|w+i\right|$.

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

B. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Đáp án chính xác

C. 2.

D. $\frac{1}{2}$.

Trả lời:

Đáp án cần chọn là: B.Dễ dàng kiểm tra z = 0 không thỏa mãn $\left(3–i\right)\left|z\right|=\frac{z}{w–1}+1–i$.Ta có: $\left(3–i\right)\left|z\right|=\frac{z}{w–1}+1–i$$\iff \frac{z}{w–1}=\left(3–i\right)\left|z\right|+i–1\iff \frac{z}{w–1}=\left(3\left|z\right|–1\right)+\left(1–\left|z\right|\right)i\Rightarrow \left|\frac{z}{w–1}\right|=\sqrt{10{\left|z\right|}^2–8\left|z\right|+2}\Rightarrow \left|w–1\right|=\sqrt{\frac{{\left|z\right|}^2}{10{\left|z\right|}^2–8\left|z\right|+2}}$Nhận xét:$\iff \left\{\begin{array}{l}\left|z\right|=\frac{1}{2}\\ w–1=\frac{1}{2}\left(1+i\right)\\ z=\frac{1+i}{2}.\frac{2k}{1–i}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}z=\frac{i}{2}\\ w=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\end{array}\right.\right.$Vậy MaxT=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho số phức z=m+3i1-i, m∈R. Số phức w=z2 có w=9. Khi các giá trị của m là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số phức $z=\frac{m+3i}{1–i}, m\in R$. Số phức $w=z^2$ có $\left|w\right|=9$. Khi các giá trị của m là:

   A. $m=\pm 1$.

   B. $m=\pm 2$.

   C. $m=\pm 3$.

   Đáp án chính xác

   D. $m=\pm 4$.

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho số phức z=a+bi(ab≠0). Tìm phần thực của số phức w=1z2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số phức $z=a+bi(ab\ne 0)$. Tìm phần thực của số phức $w=\frac{1}{z^2}$.

   A. $–\frac{ab}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$.

   B, $\frac{a^2+b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$.

   C. $\frac{b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$.

   D. $\frac{a^2–b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: D$z=a+bi\Rightarrow z^2={\left(a+bi\right)}^2=a^2+2abi+b^2{i}^2=a^2–b^2+2abi$$w=\frac{1}{{\left(a+bi\right)}^2}=\frac{1}{a^2–b^2+2abi}=\frac{a^2–b^2–2abi}{\left(a^2–b^2+2abi\right)\left(a^2–b^2–2abi\right)}=\frac{a^2–b^2–2abi}{{\left(a^2–b^2\right)}^2–{\left(2abi\right)}^2}=\frac{a^2–b^2–2abi}{a^4+b^4–2a^2{b}^2–4a^2{b}^2{i}^2}=\frac{a^2–b^2–2abi}{a^4+b^4–2a^2{b}^2–4a^2{b}^2}=\frac{a^4+b^4–2a^2{b}^2}{a^4+b^4+2a^2{b}^2}=\frac{a^4+b^4–2a^2{b}^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}=\frac{a^2–b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}–\frac{2ab}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}i$Nên phần thực cuả số phức w là: $\frac{a^2–b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z=1 và z3+2024z+z¯-23z+z¯=2019 ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left|z\right|=1$ và $\left|z^3+2024z+\overline{z}\right|–2\sqrt{3}\left|z+\overline{z}\right|=2019$ ?

   A. 2.

   B. 4.

   Đáp án chính xác

   C. 3.

   D. 1.

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: BVậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là:$z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i; z_2=\frac{\sqrt{3}}{2}–\frac{1}{2}i; z_3=–\frac{\sqrt{3}}{2}–\frac{1}{2}i; z_4=–\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho số phức z có tích phần thực và phần ảo bằng 625. Gọi a là phần thực của số phức z3+4i. Giá trị nhỏ nhất của a bằng.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số phức z có tích phần thực và phần ảo bằng 625. Gọi a là phần thực của số phức $\frac{z}{3+4i}$. Giá trị nhỏ nhất của $\left|a\right|$ bằng.

   A. $2\sqrt{3}$.

   B. $3\sqrt{3}$.

   C. $\sqrt{3}$.

   D. $4\sqrt{3}$.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hai số phức z1,z2 khác 0 thỏa mãn z1z2 là số thuần ảo và z1-z2=10. Giá trị lớn nhất của z1+z2 bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai số phức $z_1,z_2$ khác 0 thỏa mãn $\frac{z_1}{z_2}$ là số thuần ảo và $\left|z_1–z_2\right|=10$. Giá trị lớn nhất của $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ bằng:

   A. 10.

   B. $10\sqrt{2}$.

   Đáp án chính xác

   C. $10\sqrt{3}$.

   D. $20.$

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: BTa có: $\frac{z_1}{z_2}$ là số thuần ảo nên ta viết lại $\frac{z_1}{z_2}=ki\iff z_1=ki{z}_2$.Khi đó $\left|z_1–z_2\right|=10\iff \left|ki{z}_2–z_2\right|=10\iff \left|z_2\left(–1+ki\right)\right|=10\iff \left|z_2\right|=\frac{10}{\left|–1+ki\right|}=\frac{10}{\sqrt{k^2+1}}\Rightarrow \left|z_1\right|=\left|ki\right|.\left|z_2\right|=\left|k\right|.\frac{10}{\sqrt{k^2+1}}\Rightarrow \left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\frac{10\left|k\right|}{\sqrt{k^2+1}}+\frac{10}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{10\left(\left|k\right|+1\right)}{\sqrt{k^2+1}}$Xét $y=f\left(t\right)=\frac{10\left(t+1\right)}{\sqrt{t^2+1}}\Rightarrow 10\left(t+1\right)=y\sqrt{t^2+1}\iff 100{\left(t+1\right)}^2=y^2\left(t^2+1\right)$$\iff 100\left(t^2+2t+1\right)=y^2{t}^2+y^2\iff \left(y^2–100\right)t^2–200t+y^2–100=0$Phương trình có nghiệm $\Delta ‘={100}^2–{\left(y^2–100\right)}^2=y^2\left(200–y^2\right)\ge 0\iff –10\sqrt{2}\le y\le 10\sqrt{2}$Vậy $max y=10\sqrt{2}$ khi t = 1 hay $k=\pm 1$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====