Cho a và b là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ thị y=logax, y=logbx và trục hoành lần lượt tại A,B và H phân biệt ta đều có 3HA = 4HB (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu hỏi:

Cho a và b là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ thị $y={\log }_{a}x, y={\log }_{b}x$ và trục hoành lần lượt tại A,B và H phân biệt ta đều có 3HA = 4HB (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 4a=3b

B. a³b⁴=1

C. 3a=4b

D. a⁴b³=1

Đáp án chính xác

Trả lời:

 Chọn D.
Ta có: Gọi H (x₀ ;0) Khi đó
$A\left(x_0;{\log }_a{x}_0\right); B \left(x_0;{\log }_b{x}_0\right);$
$AH=\left|{\log }_a{x}_0\right|; BH=\left|{\log }_b{x}_0\right|$
Do $3HA=4HB \iff 3\left|{\log }_a{x}_0\right|=4\left|{\log }_b{x}_0\right|$
Dựa vào đồ thị ta thấy:
$3\left|{\log }_a{x}_0\right|=4\left|{\log }_b{x}_0\right|\iff 3{\log }_a{x}_0=–4{\log }_b{x}_0$
Đặt $3{\log }_a{x}_0=–4{\log }_b{x}_0=t$ Ta có
$3{\log }_a{x}_0=–4{\log }_b{x}_0=t \iff \left\{\begin{array}{l}{\log }_a{x}_0=\frac{t}{3}\\ {\log }_b{x}_0=–\frac{t}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^{\frac{t}{3}}=x_0\\ b^{\frac{–t}{4}}=x_0\end{array}\right.$
$a^{\frac{t}{3}}=b^{\frac{–t}{4}}\iff a^{\frac{t}{3}}=\frac{1}{b^{\frac{t}{4}}}\iff a^{\frac{t}{3}}.b^{\frac{t}{4}}=1\iff a^4.b^3=1$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a . Gọi α là góc giữa mặt phẳng (A’BC)  và mặt phẳng (ABC) . Tính tanα.   
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a . Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng (A’BC)  và mặt phẳng (ABC) . Tính $\tan \alpha .$ 
    

   A. $\tan \alpha =\sqrt{3}.$

   B. $\tan \alpha =2.$

   C. $\tan \alpha =\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

   Đáp án chính xác

   D. $\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}.$

   Trả lời:

   Chọn C.

   

   Gọi M là trung điểm của 
   suy ra $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AM\\ BC\perp A‘A\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp A‘M.$
   Vậy $\left\{\begin{array}{l}\left(A‘BC\right)\cap \left(ABC\right)=BC\\ BC\perp AM,BC\perp A‘M\end{array} \right.\Rightarrow \alpha =\left(\left(A‘BC\right);\left(ABC\right)\right)=\left(AM;A‘M\right)=\widehat{A‘MA}.$
    

   Tam giác ABC đều cạnh a nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho các số thực x,y thỏa mãn lny≥lnx3+2−ln3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H=e4y−x3−x−2−x2+y22+xy+1−y. 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $\ln y\ge \ln \left(x^3+2\right)-\ln 3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H=e^{4y-x^3-x-2}-\frac{x^2+y^2}{2}+x\left(y+1\right)-y.$ 

   A. $\frac{1}{e}$

   B. $e.$

   C. 1.

   Đáp án chính xác

   D. 0

   Trả lời:

   Chọn C.
   Điều kiện: $y>\mathrm{0,}x>-\sqrt[3]{2}$
   Từ giả thiết ta có: $\begin{array}{l}\ln y+\ln 3\ge \ln \left(x^3+2\right)\\ \iff \ln 3y\ge \ln \left(x^3+2\right)\\ \iff 3y\ge x^3+2\iff 3\left(y-x\right)\ge x^3-3x+2\end{array}$
   Xét hàm số $h\left(x\right)=x^3-3x+2$ trên  $\left(-\sqrt[3]{2};+\infty \right).$
    

   Ta có: $h‘\left(x\right)=3x^2-\mathrm{3,}h‘\left(x\right)=0\iff 3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}\right..$
             $h\left(-1\right)=\mathrm{4,}h\left(1\right)=\mathrm{0,}h\left(-\sqrt[3]{2}\right)=3\sqrt[3]{2}>0.$
   Bảng biến thiên:
   

   Từ bảng biến thiên suy ra: $\underset{\left(-\sqrt[3]{2};+\infty \right)}{\min }h\left(x\right)=0.$
   Suy ra: $3\left(y-x\right)\ge 0\iff y-x\ge 0.$
   Ta có:
   $\begin{array}{l}H=e^{4y-x^3-x-2}-\frac{x^2+y^2}{2}+x\left(y+1\right)-y\\ =e^{y-x+3y-\left(x^3+2\right)}-\frac{{\left(y-x\right)}^2}{2}-\left(y-x\right)\ge e^{y-x}-\frac{{\left(y-x\right)}^2}{2}-\left(y-x\right).\end{array}$
   
   Xét hàm số $g\left(t\right)=e^t-\frac{1}{2}{t}^2-t$ trên $\left[0;+\infty \right).$
   Ta có: $g‘\left(t\right)=e^t-t-\mathrm{1,}g“\left(t\right)=e^t-1.$
   Ta có: $\forall t\ge 0\Rightarrow g“\left(t\right)=e^t-1\ge e^0-1=\mathrm{0,}$

   suy ra hàm số $g‘\left(t\right)$ đồng biến trên $\left[0;+\infty \right).$
   Suy ra: $\forall t\ge 0:g‘\left(t\right)\ge g‘\left(0\right)=\mathrm{0,}$
   suy ra hàm số $g\left(t\right)$ đồng biến trên $\left[0;+\infty \right).$
   Vậy $\underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }g\left(t\right)=g\left(0\right)=\mathrm{1,}$ Suy ra: $H_{\min }=1.$
   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{array}{l}x=y\\ 3y=x^3+2\end{array}\right.\iff x=y=1.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là Nt. Biết rằng N’t=20001+2t và lúc đàu đám vi trùng có 300000 con. Ký hiệu L là số lượng vi trùng sau 10 ngày. Tìm L.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một đám vi trùng tại ngày thứ $t$ có số lượng là $N\left(t\right).$ Biết rằng $N‘\left(t\right)=\frac{2000}{1+2t}$ và lúc đàu đám vi trùng có 300000 con. Ký hiệu $L$ là số lượng vi trùng sau 10 ngày. Tìm $L.$

   A. $L=303044.$

   Đáp án chính xác

   B. $L=306089.$

   C. $L=300761.$

   D. $L=301522.$

   Trả lời:

   Chọn A
   Ta có $N‘\left(t\right)=\frac{2000}{1+2t}\Rightarrow N\left(t\right)=\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{2000}{1+2t}dt=1000\ln \left(1+2t\right)+C.$
   Lúc đầu đám vi trùng có 300000 con suy ra $N\left(0\right)=300000.$
   Khi đó $1000\ln \left(1+2.0\right)+C=300000\iff C=300000.$
   Suy ra $N\left(t\right)=1000\ln \left(1+2t\right)+300000.$
   Vậy $L=N\left(10\right)=1000\ln 21+300000=303044.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số fx có đạo hàm trên ℝ và có dấu của f'x như sau: Hàm số y=f2−x có bao nhiêu điểm cực trị?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và có dấu của $f‘\left(x\right)$ như sau:

   

   Hàm số $y=f\left(2-x\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

   A. 1

   B. 4

   C. 3

   Đáp án chính xác

   D. 2

   Trả lời:

   Chọn C.
   Ta có $y‘=-f‘\left(2-x\right).$ Xét .$y‘=0\iff -f‘\left(2-x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}2-x=-1\\ 2-x=1\\ 2-x=2\\ 2-x=3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=1\\ x=0\\ x=-1\end{array}\right.$
   Bảng xét dấu: 
   
   Từ bảng xét dấu, ta suy ra hàm số $y=f\left(2-x\right)$ có tất cả 3 điểm cực trị.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam diện vuông O.ABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r. Khi đó tỉ số Rr đạt giá trị nhỏ nhất là x+y2. Tính P=x+y.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam diện vuông $O.ABC$ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là $R$ và $r.$ Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{x+\sqrt{y}}{2}.$ Tính $P=x+y.$

   A. 30.                          

   Đáp án chính xác

   B. 6.                           

   C. 60.    

   D. 27.

   Trả lời:

   Chọn A.
   

   Đặt $OA=a,OB=b,OC=c.$
   Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ 
   dựng trục đường tròn  ngoại tiếp tam giác $OBC,$
   trên mặt phẳng $\left(OAM\right),$
   kẻ đường trung trực của đoạn $OA$ cắt $\Delta$ tại $I$ là
   tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $O.ABC.$
   +) $\begin{array}{l}OM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2},\\ R=\sqrt{M{I}^2+O{M}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\end{array}$
   +) Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của
    tam giác $ABC,$ suy ra:
   $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AH\\ BC\perp AO\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(OAH\right)\Rightarrow BC\perp OH.$
   $\begin{array}{l}\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\\ \Rightarrow OH=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\Rightarrow AH=\sqrt{O{A}^2+O{H}^2}\\ =\sqrt{a^2+\frac{b^2{c}^2}{b^2+c^2}}=\sqrt{\frac{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}{\sqrt{b^2+c^2}}}\end{array}$

    
   Suy ra:$\begin{array}{l}{S}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}}{\sqrt{b^2+c^2}}.\sqrt{b^2+c^2}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}.\end{array}$

    
   +) Gọi $J$ là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp $O.ABC.$
   Khi đó:
    $\begin{array}{l}d\left(J;\left(OAB\right)\right)=d\left(J;\left(OBC\right)\right)\\ =d\left(J;\left(OAC\right)\right)=d\left(J;\left(ABC\right)\right)=r.\end{array}$
   $\begin{array}{l}{V}_{O.ABC}=V_{J.ABC}+V_{J.OBC}+V_{J.AOC}+V_{J.ABO}\\ \iff \frac{1}{6}abc=\frac{1}{3}r\left(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta OBC}+S_{\Delta AOC}+S_{\Delta ABO}\right)\end{array}$
       
    $\iff \frac{1}{2}abc=r\left(\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\right).$
        $\iff \frac{1}{r}=\frac{1}{abc}\left(\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+ab+bc+ca\right).$
   Suy ra:
    $\frac{R}{r}=\frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}\left(\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+ab+bc+ca\right)$
                  $\ge \frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}}\left(\sqrt{3\sqrt[3]{a^2{b}^2.a^2{c}^2.b^2{c}^2}}+3\sqrt[3]{ab.bc.ca}\right)$
          $=\frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{3}.\sqrt[3]{abc}\left(\sqrt{3}.\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}+3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}\right)=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{27}}{2}.$
   Vậy $P=a+b=30.$ Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====