Câu hỏi:
Biết \(\int\limits_0^2 {2x\ln \left( {1 + x} \right)dx = a.\ln b,} \) với \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\), \(b\) là số nguyên tố. Giá trị của \(3a + 4b\) bằng
A. 42.
B. 21.
Đáp án chính xác
C. 12.
D. 32.
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Xét \(I = \int\limits_0^2 {2x\ln \left( {1 + x} \right)dx.} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{1 + x}}dx\\v = {x^2} – 1\end{array} \right.\) .
Ta có \(I = \left( {{x^2} – 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. – \int\limits_0^2 {\frac{{{x^2} – 1}}{{x + 1}}dx} \)
\( = 3\ln 3 – \int\limits_0^2 {\left( {x – 1} \right)dx} = 3\ln 3 – \left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = 3\ln 3.\)
Vậy \(a = 3,b = 3 \Rightarrow 3a + 4b = 21.\)
Chọn B.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====