Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất

Tài liệu Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất gồm các nội dung sau:

I. Phương pháp giải

– Tổng hợp các bước làm Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất

II. Ví dụ minh họa

– Gồm 8 bài tập vận dụng có lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM HỮU TỈ BẬC 1/1

I. Phương pháp giải

Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị: Gồm 3 bước:

Bước 1: Tập xác định

– Tìm tập xác định

– Xét tính chẵn, lẻ nếu có.

Bước 2: Chiều biến thiên

– Tính các giới hạn.

– Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

– Tính đạo hàm cấp một, dấu luôn dương hay âm

– Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra các khoảng đồng biến, hay các khoảng nghịch biến.

Bước 3: Vẽ đồ thị

– Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ.

– Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Các dạng đồ thị hàm hữu tỉ 1/1: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với  $c\ne 0,ad–bc\ne 0$

II. Ví dụ minh họa

Bài toán 1. Cho hàm số $y=\frac{–x+1}{x–2}$.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.

2) Tìm trên (H) các điểm có tọa độ nguyên.

Giải

1) ● Tập xác định $D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{2\right\}$

● Sự biến thiên:

$\underset{x\to 2^{–}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=–\mathrm{\infty }$ nên đường tiệm cận đứng là $x=2$.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=–1$ và $\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}y=–1$ nên đường tiệm cận ngang là $y=–1$.

\(y’ = \frac{1}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \ne 2\). 

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)

● Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại \(\left( {1;0} \right)\), cắt trục tung tại \(\left( {0; – \frac{1}{2}} \right)\) và nhận giao điểm \(I\left( {2; – 1} \right)\) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

2) Ta có \(y = \frac{{ – x + 1}}{{x – 2}} = \frac{{ – x + 2 – 1}}{{x – 2}} =  – 1 – \frac{1}{{x – 2}}\)

Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc (H) có tọa độ x,y nguyên khi \(x – 2\) là ước của 1: \(x – 2 = 1\) hay \(x – 2 =  – 1 \Leftrightarrow x = 3\) hay \(x = 1\).

Vậy điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc (H) có tọa độ x,y nguyên là \(M\left( {3; – 2} \right)\) và \(M\left( {1;0} \right)\).

Bài toán 2. Cho hàm số \(y = \frac{{x – 3}}{{2 – x}}\)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng.

Giải

a) ● Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

● Sự biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y =  – \infty \)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty \) nên đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  – 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y =  – 1\) nên đường thẳng \(y =  – 1\) là tiệm cận ngang.

\(y’ = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {2 – x} \right)}^2}}} < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\): Hàm số không có cực trị, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). 

Bảng biến thiên

 
 

Đồ thị:

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  – \frac{3}{2}\);

\(y = 0 \Rightarrow x = 3\).

b) Giao điểm của hai tiệm cận là \(I\left( {2; – 1} \right)\).

Áp dụng công thức chuyển hệ bằng phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow {OI} :\left\{ \begin{array}{l}x = X + 2\\y = Y – 1\end{array} \right.\)

Đồ thị (C) trong hệ tọa độ \(IXY:\,Y – 1 = \frac{{\left( {X + 2} \right) – 3}}{{2 – \left( {X + 2} \right)}} \Leftrightarrow Y = \frac{1}{X}\)

Vì \(Y = F\left( X \right) = \frac{1}{X}\) là hàm lẻ nên đồ thị nhận gốc I là tâm đối xứng.

Bài toán 3. Cho hàm số \(y = \frac{{x – 2}}{{x – 1}}\).

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: \(\left| {x – 2} \right| = \left( {x – 1} \right).3m\).

Giải

1) ● Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

● Sự biến thiên: Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  – \infty \)

Do đó đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 1\) nên đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang.

Ta có \(y’ = \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \ne 1\).

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\)

● Đồ thị: Đồ thị (C) cắt Ox tại \(\left( {2;0} \right)\), cắt Oy tại \(\left( {0;2} \right)\), (C) nhận giao điểm \(I\left( {1;1} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 

2) Vì \(x = 1\) không là nghiệm nên phương trình

\(\left| {x – 2} \right| = \left( {x – 1} \right).3m \Leftrightarrow \frac{{\left| {x – 2} \right|}}{{x – 1}} = 3m\)

Ta có: \[y = \frac{{\left| {x – 2} \right|}}{{x – 1}} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x – 2}}{{x – 1}}\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\\ – \frac{{x – 2}}{{x – 1}}\,\,\,khi\,\,1 \ne x < 2\end{array} \right.\]

Suy ra đồ thị (C’) của \(y = \frac{{\left| {x – 2} \right|}}{{x – 1}}\) gồm phần của (C) ứng với \(x \ge 2\) và đối xứng phần (C) ứng với \(x < 2\) qua trục hoành.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C’) và đường thẳng \(y = 3m\):

Xét \(3m \ge 1\) hay \(3m = 0\) hay \(3m <  – 1\)

\( \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{3}\) hay \(m = 0\) hay \(m <  – \frac{1}{3}\) thì phương trình có 1 nghiệm.

Xét \(0 < 3m < 1 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{3}\) thì phương trình có 2 nghiệm.

Xét \( – 1 \le 3m < 0 \Leftrightarrow  – \frac{1}{3} < m < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Bài toán 4. Cho hàm số \(y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b) Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là số nguyên.

Giải

a) ● Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

 ● Sự biến thiên: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y =  – \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \) nên tiệm cận đứng: \(x = 1\). Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 2\) nên tiệm cận ngang \(y = 2\).

\(y’ = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} < 0,\,\forall x \ne 1\). Hàm số không có cực trị.

BBT

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

● Đồ thị: Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 1;y = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).

Đồ thị nhận giao điểm \(I\left( {1;2} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

b) \(y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}} = 2 + \frac{1}{{x – 1}}\)

Điểm \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\) có tọa độ nguyên khi \(x – 1 =  \pm 1\). Suy ra (C) có 2 điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\) có tọa độ là số nguyên.

 

Xem thêm