Câu hỏi:
Cho \(F\left( x \right) = \left( {x – 1} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^{2x}}\). Biết rằng hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right){e^{2x}}\) là:
A. \(\left( {2 – x} \right){e^x} + C\)
Đáp án chính xác
B. \(\left( {2 + x} \right){e^x} + C\)
C. \(\left( {1 – x} \right){e^x} + C\)
D. \(\left( {1 + x} \right){e^x} + C\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Ta có \(F’\left( x \right) = f\left( x \right){e^{2x}} \Leftrightarrow {e^x} + \left( {x – 1} \right){e^x} = f\left( x \right).{e^{2x}} \Leftrightarrow f\left( x \right).{e^{2x}} = x.{e^x}\).
Xét \(\int {f’\left( x \right){e^{2x}}dx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{2x}}\\dv = f’\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2{e^{2x}}dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)
Do đó \(I = f\left( x \right).{e^{2x}} – 2\int {f\left( x \right){e^x}dx} = x{e^x} – 2\left( {x – 1} \right){e^x} + C\)
Vậy \(I = \int {f’\left( x \right){e^{2x}}dx} = \left( {2 – x} \right){e^x} + C\)
Chọn A.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====