Câu hỏi:
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.
Giá trị của \(P = 2a + b\) là
A. 3.
Đáp án chính xác
B. 7.
C. 5.
D. 1.
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{\left( {\sin x + 1} \right)\left( {\sin x + 2} \right)}}d\left( {\sin x} \right)} } \)
\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{\sin x + 1}} – \frac{1}{{\sin x + 2}}} \right)d\left( {\sin x} \right) = \left( {\ln \left| {\sin x + 1} \right| – \ln \left| {\sin x + 2} \right|} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{2}}} \right.} \)
\( = \ln 2 – \ln 1 – \left( {\ln 3 – \ln 2} \right) = 2\ln 2 – \ln 3\)
Suy ra \(a = 2,b = – 1 \Rightarrow 2a + b = 3.\)
Chọn A.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====