Cho số phức z thỏa mãn z=1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z+1+z2+z+1. Khi đó giá trị của M + m bằng

Câu hỏi:

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z\right|=1$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left|z+1\right|+\left|z^2+z+1\right|$. Khi đó giá trị của M + m bằng

A. 5

B. 6

Đáp án chính xác

C. $\frac{5}{4}$

D. $\frac{9}{4}$

Trả lời:

Chọn B
Đặt $z=a+bi\left(a,b\in ℝ\right)$ và $t=\left|z+1\right|$. Khi đó
$t^2=\left(z+1\right)\left(\overline{z}+1\right)={\left|z\right|}^2+1+z+\overline{z}=2+2a\Rightarrow a=\frac{t^2-2}{2}$
Ta có
$\left|z^2+z+1\right|=\left|a^2-b^2+2abi+a+bi+1\right|=\left|a^2+\left(1-b^2\right)+a+b\left(2a+1\right)i\right|=\sqrt{{\left(2a^2+a\right)}^2+b^2{\left(2a+1\right)}^2}=\sqrt{a^2{\left(2a+1\right)}^2+\left(1-a^2\right){\left(2a+1\right)}^2}$

$=\left|2a+1\right|=\left|t^2-1\right|$

$\Rightarrow \left|z+1\right|+\left|z^2+z+1\right|=t+\left|t^2-1\right|$ (với $0\le t\le 2$, do $a^2\le 1$).
Xét hàm số $f\left(t\right)=t+\left|t^2-1\right|$ với $t\in \left[0;2\right]$
Trường hợp 1: $t\in \left[0;1\right]\Rightarrow f\left(t\right)=t+1-t^2=-t^2+t+1\le f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}$
và có $f\left(0\right)=f\left(1\right)=1$ nên $\left\{\begin{array}{l}\max \left[0;1\right]f\left(t\right)=\frac{5}{4}\\ \min \left[0;1\right]f\left(t\right)=1\end{array}\right.$
Trường hợp 2: $t\in \left[1;2\right]\Rightarrow f\left(t\right)=t+t^2-1=t^2+t-1,f^{‘}\left(t\right)=2t+1>0,\forall t\in \left[1;2\right]$
Do đó hàm số luôn đồng biến trên $\left[1;2\right]\Rightarrow$$\left\{\begin{array}{l}M=\max \left[0;2\right]f\left(t\right)=5\\ m=\min \left[0;2\right]f\left(t\right)=1\end{array}\right.\Rightarrow M+m=6$
Vậy $\left\{\begin{array}{l}M=\max \left[0;2\right]f\left(t\right)=5\\ m=\min \left[0;2\right]f\left(t\right)=1\end{array}\right.\Rightarrow M+m=6$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====