Cho các số thực x, y thỏa mãn x−42+y−42+2xy≤32. Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức A=x3+y3+3xy−1x+y−2 là:

Câu hỏi:

Cho các số thực x, y thỏa mãn ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+2xy\le 32$. Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức $A=x^3+y^3+3\left(xy-1\right)\left(x+y-2\right)$ là:

A. $m=16$

B. $m=0$

C. $m=\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$

Đáp án chính xác

D. $m=398$

Trả lời:

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+2xy\le 32$$\iff {\left(x+y\right)}^2-8\left(x+y\right)\le 0\iff 0\le x+y\le 8$$A={\left(x+y\right)}^3-3\left(x+y\right)-6xy+6\ge {\left(x+y\right)}^3-\frac{3}{2}{\left(x+y\right)}^2-3\left(x+y\right)+6$(do ${\left(x+y\right)}^2\ge 4xy\Rightarrow xy\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}\Rightarrow -6xy\ge -\frac{3}{2}{\left(x+y\right)}^2$ )Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3-\frac{3}{2}{t}^2-3t+6$ trên đoạn $\left[0;8\right]$ ta có:$f‘\left(t\right)=3t^2-3t-3,f‘\left(t\right)=0\iff t=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$  (giá trị $\frac{1-\sqrt{5}}{2}\notin \left[0;8\right]$ nên loại)Thực hiện tính toán ta có:$f\left(0\right)=6,f\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{17-5\sqrt{5}}{4},f\left(8\right)=398$$\Rightarrow A\ge f\left(t\right)\ge \frac{17-5\sqrt{5}}{4}\Rightarrow A\ge \frac{17-5\sqrt{5}}{4}$Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$ xảy ra khi  $\left\{\begin{array}{c}x+y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ x=y\end{array}\right.\iff x=y=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$Đáp án cần chọn là: C

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=fx liên tục trên R và có đồ thị như hình dưới. Gọi a, A lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của fx+1 trên đoạn −1;0. Giá trị a+A bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình dưới. Gọi a, A lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $f\left(x+1\right)$ trên đoạn $\left[-1;0\right]$. Giá trị $a+A$ bằng:

   A. 1

   B. 2

   C. 0

   D. 3

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đặt $x+1=t$. Khi đó:  $x\in \left[-1;0\right]\Rightarrow t\in \left[0;1\right]$Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:$\left\{\begin{array}{c}a=\underset{\left[0;1\right]}{\min }f\left(t\right)=0khit=0\Rightarrow x=-1\\ A=\underset{\left[0;1\right]}{\min }f\left(t\right)=3khit=1\Rightarrow x=0\end{array}\right.$$\Rightarrow a+A=0+3=3$Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn −1;4 và có đồ thị như hình vẽ:Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn −10;10 để bất phương trình fx+m<2m đúng với mọi x thuộc đoạn −1;4?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[-1;4\right]$ và có đồ thị như hình vẽ:Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn $\left[-10;10\right]$ để bất phương trình $\left|f\left(x\right)+m\right|<2m$ đúng với mọi x thuộc đoạn $\left[-1;4\right]$?

   A. 6

   B. 5

   C. 7

   Đáp án chính xác

   D. 8

   Trả lời:

   Ta có: $\left|f\left(x\right)+m\right|<2m$$\iff -2m<f\left(x\right)+m<2m$$\iff -3m<f\left(x\right)<m$$\iff \left\{\begin{array}{c}-3m<\underset{\left[-1;4\right]}{\min }f\left(x\right)\\ \underset{\left[-1;4\right]}{\max }f\left(x\right)<m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-3m<-2\\ 3<m\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}m>\frac{2}{3}\\ m>3\end{array}\iff m>3\right.\right.$Kết hợp điều kiện đề bài  $\Rightarrow m\in \left(3;10\right],m\in Z\Rightarrow m\in \left\{4;5;6;7;8;9;10\right\}$Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toánĐáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=x−3x+1 trên đoạn 0;4. Tính  M+2N
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\left|x-3\right|\sqrt{x+1}$ trên đoạn $\left[0;4\right]$. Tính  $M+2N$

   A. $\frac{16\sqrt{3}}{9}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{256}{27}$

   C. 3

   D. $\sqrt{5}$

   Trả lời:

   Hàm số xác định trên  $\left[0;4\right]$Ta có: $f\left(x\right)=\left|x-3\right|\sqrt{x+1}=\sqrt{\left(x+1\right){\left(x-3\right)}^2}$Xét hàm số $g\left(x\right)=\left(x+1\right){\left(x-3\right)}^2$ trên đoạn $\left[0;4\right]$ ta có:$g‘\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2+\left(x+1\right).2\left(x-3\right)$$g‘\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x-3+2x+2\right)$$g‘\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(3x-1\right)$$g‘\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=3\in \left[0;4\right]\\ x=\frac{1}{3}\in \left[0;4\right]\end{array}\right.$Ta có  $g\left(0\right)=9,g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{256}{27};g\left(3\right)=0;g\left(4\right)=5$Vậy $\iff \left\{\begin{array}{c}M=\underset{\left[0;4\right]}{\max }f\left(x\right)=\sqrt{g\left(\frac{1}{3}\right)}=\frac{16\sqrt{3}}{9}\\ N=\underset{\left[0;4\right]}{\min }f\left(x\right)=\sqrt{g\left(0\right)}=0\end{array}\right.\Rightarrow M+2N=\frac{16\sqrt{3}}{9}$Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=fx=x−1+5−x trên đoạn  1;5
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}$ trên đoạn  $\left[1;5\right]$

   A. $\underset{\left[1;5\right]}{\max }f\left(x\right)=3\sqrt{2}$

   B. $\underset{\left[1;5\right]}{\max }f\left(x\right)=\sqrt{2}$

   C. $\underset{\left[1;5\right]}{\max }f\left(x\right)=2\sqrt{2}$

   Đáp án chính xác

   D. $\underset{\left[1;5\right]}{\max }f\left(x\right)=2$

   Trả lời:

   TXĐ:$\left\{\begin{array}{c}x-1\ge 0\\ 5-x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x\le 5\end{array}\right.\Rightarrow D=\left[1;5\right]$Ta có:  $f‘\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}=\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}.\sqrt{5-x}}$Cho  $f‘\left(x\right)=0\iff \sqrt{5-x}=\sqrt{x-1}\iff 5-x=x-1\iff x=3\in \left[1;5\right]$Mặt khác  $f\left(1\right)=2,f\left(3\right)=2\sqrt{2},f\left(5\right)=2$Vậy $\underset{\left[1;5\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(3\right)=2\sqrt{2}$Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=x−4−x2. Khi đó M+m bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=x-\sqrt{4-x^2}$. Khi đó $M+m$ bằng

   A. 4

   B. $2-2\sqrt{2}$

   Đáp án chính xác

   C. $2\left(\sqrt{2}-1\right)$

   D. $2\left(\sqrt{2}+1\right)$

   Trả lời:

   Ta có:  $y=x-\sqrt{4-x^2}$TXĐ:  $D=\left[-2;2\right]$$\Rightarrow y‘=1+\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\iff y‘=0$   $\iff x+\sqrt{4-x^2}=0\iff \sqrt{4-x^2}=-x$$\iff \left\{\begin{array}{c}x\le 0\\ x^2=4-x^2\end{array}\right.\iff \iff \left\{\begin{array}{c}x\le 0\\ x^2=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\le 0\\ \left[\begin{array}{c}x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x=-\sqrt{2}$$\iff \left\{\begin{array}{c}y\left(2\right)=2\\ y\left(-\sqrt{2}\right)=-2\sqrt{2}\\ y\left(-2\right)=-2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}M=\underset{\left[-2;2\right]}{\max }y=y\left(2\right)=2\\ m=\underset{\left[-2;2\right]}{\max }y=y(-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}\end{array}\right.$$\Rightarrow m+m=2-2\sqrt{2}$Đáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====