Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2-4x+5=m+4x-x2  có đúng 2 nghiệm dương?

Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $\sqrt{x^2–4x+5}=m+4x–x^2$  có đúng 2 nghiệm dương?

A. $–1\le m\le 3.$

B. $–3<m<\sqrt{5}$.

Đáp án chính xác

C. $–\sqrt{5}<m<3.$

D. $–3\le m\le 3.$

Trả lời:

Đặt $t=f\left(x\right)=\sqrt{x^2–4x+5}.$
ta có $f‘\left(x\right)=\frac{x–2}{\sqrt{x^2–4x+5}}$ và $f‘=0\iff x=2$
Xét x> 0 ta có bảng biến thiên

Khi đó phương trình đã cho trở thành  m= t²+ t- 5hay  t²+ t- 5-m= 0       (*) 
Nếu phương trình (* ) có nghiệm t₁; t₂  thì t₁+ t₂= -1.
Do đó (*) có nhiều nhất 1 nghiệ m t ≥  1.
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm t ∈ (1; √5).
+  Đặt  g(t) = t²+ t- 5. Ta đi tìm m để phương trình (*)  có đúng 1 nghiệm t ∈ (1; √5).
Ta có g’(t) = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ (1; √5).
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra  là các giá trị cần tìm.
Chọn  B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y= x3-3×2-m-1 có đồ thị (C) . Giá trị của tham số m để đồ thị (C)  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y= x³-3x²-m-1 có đồ thị (C) . Giá trị của tham số m để đồ thị (C)  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là

   A.m=0

   B. m=3

   C. m=-3

   Đáp án chính xác

   D. $m=\pm 6$

   Trả lời:

   Đồ thị (C)  cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình x³-3x²-1= m   có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng.
   Suy ra đường thẳng y=m đi qua điểm uốn của đồ thị y=x³-3x²-1 (do đồ thị (C)  nhận điểm uốn làm tâm đối xứng).
   Mà điểm uốn của y = x³-3x²-1 là I(1 ; -3) .
   Suy ra m = – 3.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=tan x-2tan x – m  đồng biến trên khoảng 0;π4?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{\tan x–2}{\tan x – m}$  đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$?

   A. 1≤ m < 2.

   B. m≤ 0 .

   C. m> 2.

   D. Cả A và B đúng

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   +) Điều kiện tanx ≠ m
   Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên (0; π/4) là m ∉ (0;1)
   +) đạo hàm:
   $y‘=\frac{({\tan }^{2}x+1)(2–m)}{{(\tan x–m)}^2}=\frac{2–m}{{\cos }^{2}x.{(\tan x–m)}^2}$
   +) Ta thấy:
   $\frac{1}{{\cos }^{2}x.{(\tan x–m)}^2}>0;\forall m\notin (0;1)$  
   +) Để hàm số đồng biến trên (0; π/4)
   $\iff \left\{\begin{array}{l}{y}^{‘}>0\\ m\notin (0;1)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}–m+2>0\\ m\le 0;m\ge 1\end{array}\right.\iff m\le 0 hoặc 1\le m<2$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tập nghiệm của bất phương trình:  5x-1+x+3≥4 có bao nhiêu giá trị nguyên trong ( 0; 2008]
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập nghiệm của bất phương trình:  $\sqrt{5x–1}+\sqrt{x+3}\ge 4$ có bao nhiêu giá trị nguyên trong ( 0; 2008]

   A.2006 

   B. 2001 

   C. 2008 

   Đáp án chính xác

   D. 2007

   Trả lời:

   Điều kiện: x≥ 1/5
   Xét hàm số: $y=\sqrt{5x–1}+\sqrt{x+3}$  liên tục trên nửa khoảng $(\frac{1}{5};+\infty )$.
   Ta có: 
   Do  đó hàm số f( x) là hàm số đồng biến trên $(\frac{1}{5};+\infty )$.
   Mặt khác : f(1) =4
   Khi đó bất phương trình đã cho trở thành f(x) ≥ f(1) hay x≥1.
   Ta thấy từ  (0 ; 2008] có các giá trị của x thỏa mãn là : 1 ;2 ;3 ;4….2008.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số  có đồ thị (C) y=2x+1x-1 và đường thẳng  d: y=x+m. Đường thẳng d cắt đồ thị (C)  tại hai điểm A và B. Với C( -2; 5) , giá trị của tham số m để tam giác ABC đều là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số  có đồ thị (C) $y=\frac{2x+1}{x–1}$ và đường thẳng  d: y=x+m. Đường thẳng d cắt đồ thị (C)  tại hai điểm A và B. Với C( -2; 5) , giá trị của tham số m để tam giác ABC đều là

   A.m = 1

   B.m = 1 hoặc m = – 5

   Đáp án chính xác

   C.m = 5

   D.m = – 5

   Trả lời:

   Phương trình hoành độ giao điểm của (C)  và đường thẳng d:
   $\frac{2x+1}{x–1}=x+m(x\ne 1)\iff x^2+(m–3)x–m–1=0 \left(1\right)$
   Khi đó  cắt (C)  tại hai điểm phân biệt  A và B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 
   $\iff \left\{\begin{array}{l}{(m–3)}^2+4(m+1)>0\\ 1^2+(m–3)–m–1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2–2m+13>0\\ –1\ne 0\end{array}\right.$ – luôn đúng
   Gọi A( x₁ ; x₁+m) ; B( x₂ ; x₂+m)  trong đó x₁ ; x₂ là nghiệm của (1) , theo Viet ta có 
   $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3–m\\ x_1{x}_2=–m–1\end{array}\right.$
   Gọi $\mathit{I}\mathbf{ }\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{x_1+x_2+2m}{2}\right)$ là trung điểm của AB, suy ra $\mathit{I} \left(\frac{3–m}{2};\frac{3+m}{2}\right)$, nên
   $\overrightarrow{IC}\left(–2–\frac{3–m}{2}; 5–\frac{3+m}{2}\right)$ 
   $\Rightarrow CI=\frac{1}{2}\sqrt{{(m–7)}^2+{(7–m)}^2}.$
   Mặt khác $\overrightarrow{AB}=(x_2–x_1; x_2–x_1)$
   $\Rightarrow AB=\sqrt{2{(x_2–x_1)}^2}=\sqrt{2{(m^2–2m+13)}^2}$
   Vậy tam giác ABC  đều khi và chỉ khi
   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Bất phương trình  2×3+3×2+6x+16-4-x≥23  có tập nghiệm là [a; b]. Hỏi tổng a2+ b2 có giá trị là bao nhiêu?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Bất phương trình  $\sqrt{2x^3+3x^2+6x+16}–\sqrt{4–x}\ge 2\sqrt{3}$  có tập nghiệm là [a; b]. Hỏi tổng a²+ b² có giá trị là bao nhiêu?

   A. 4

   B. 7

   C. 10

   D. 17

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Điều kiện: -2 ≤ x≤ 4.
   Xét $\sqrt{2x^3+3x^2+6x+16}–\sqrt{4–x}$  trên đoạn [ -2; 4].
   Có 
   $f‘\left(x\right)=\frac{3(x^2+x+1)}{\sqrt{2x^3+3x^2+6x+16}}+\frac{1}{2\sqrt{4–x}}>0 \forall x\in (–2;4).$
   Do đó hàm số đồng biến trên [-2; 4] 
   Lại có: f(1) = $2\sqrt{3}$ nên bất phương trình đã cho trở thành f(x) ≥  f(1)
   Kết hợp với điều kiện hàm số đồng biến suy ra x ≥ 1.
   Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bpt là [1; 4].
   Do đó: a² + b²= 17.
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====