Cho hàm số y= x4-(3m+4)x2+m2 có đồ thị là (C).  Có mấy giá trị nguyên của m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Câu hỏi:

Cho hàm số y= x⁴-(3m+4)x²+m² có đồ thị là (C).  Có mấy giá trị nguyên của m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

A: 0

B: 1

Đáp án chính xác

C: 2

D: 3

Trả lời:

Phương trình hoành độ giao điểm: x⁴-(3m+4)x²+m²  =0 (1)
Đặt t = x² ≥ 0, phương trình (1) trở thành: t²-(3m+4)t+m²=0   (2)
(C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi (1) có bốn nghiệm phân biệt
Hay (2) có hai nghiệm dương phân biệt 

Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm 0<t₁<t₂  Suy ra phương trình (1)  có bốn nghiệm phân biệt là 
Bốn nghiệm x₁; x₂ ; x₃; x₄ lập thành cấp số cộng


Vậy giá trị m cần tìm là m=12; m=-12/19; có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y= x3-3×2-m-1 có đồ thị (C) . Giá trị của tham số m để đồ thị (C)  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y= x³-3x²-m-1 có đồ thị (C) . Giá trị của tham số m để đồ thị (C)  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là

   A.m=0

   B. m=3

   C. m=-3

   Đáp án chính xác

   D. $m=\pm 6$

   Trả lời:

   Đồ thị (C)  cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình x³-3x²-1= m   có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng.
   Suy ra đường thẳng y=m đi qua điểm uốn của đồ thị y=x³-3x²-1 (do đồ thị (C)  nhận điểm uốn làm tâm đối xứng).
   Mà điểm uốn của y = x³-3x²-1 là I(1 ; -3) .
   Suy ra m = – 3.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=tan x-2tan x – m  đồng biến trên khoảng 0;π4?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{\tan x–2}{\tan x – m}$  đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$?

   A. 1≤ m < 2.

   B. m≤ 0 .

   C. m> 2.

   D. Cả A và B đúng

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   +) Điều kiện tanx ≠ m
   Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên (0; π/4) là m ∉ (0;1)
   +) đạo hàm:
   $y‘=\frac{({\tan }^{2}x+1)(2–m)}{{(\tan x–m)}^2}=\frac{2–m}{{\cos }^{2}x.{(\tan x–m)}^2}$
   +) Ta thấy:
   $\frac{1}{{\cos }^{2}x.{(\tan x–m)}^2}>0;\forall m\notin (0;1)$  
   +) Để hàm số đồng biến trên (0; π/4)
   $\iff \left\{\begin{array}{l}{y}^{‘}>0\\ m\notin (0;1)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}–m+2>0\\ m\le 0;m\ge 1\end{array}\right.\iff m\le 0 hoặc 1\le m<2$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tập nghiệm của bất phương trình:  5x-1+x+3≥4 có bao nhiêu giá trị nguyên trong ( 0; 2008]
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập nghiệm của bất phương trình:  $\sqrt{5x–1}+\sqrt{x+3}\ge 4$ có bao nhiêu giá trị nguyên trong ( 0; 2008]

   A.2006 

   B. 2001 

   C. 2008 

   Đáp án chính xác

   D. 2007

   Trả lời:

   Điều kiện: x≥ 1/5
   Xét hàm số: $y=\sqrt{5x–1}+\sqrt{x+3}$  liên tục trên nửa khoảng $(\frac{1}{5};+\infty )$.
   Ta có: 
   Do  đó hàm số f( x) là hàm số đồng biến trên $(\frac{1}{5};+\infty )$.
   Mặt khác : f(1) =4
   Khi đó bất phương trình đã cho trở thành f(x) ≥ f(1) hay x≥1.
   Ta thấy từ  (0 ; 2008] có các giá trị của x thỏa mãn là : 1 ;2 ;3 ;4….2008.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số  có đồ thị (C) y=2x+1x-1 và đường thẳng  d: y=x+m. Đường thẳng d cắt đồ thị (C)  tại hai điểm A và B. Với C( -2; 5) , giá trị của tham số m để tam giác ABC đều là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số  có đồ thị (C) $y=\frac{2x+1}{x–1}$ và đường thẳng  d: y=x+m. Đường thẳng d cắt đồ thị (C)  tại hai điểm A và B. Với C( -2; 5) , giá trị của tham số m để tam giác ABC đều là

   A.m = 1

   B.m = 1 hoặc m = – 5

   Đáp án chính xác

   C.m = 5

   D.m = – 5

   Trả lời:

   Phương trình hoành độ giao điểm của (C)  và đường thẳng d:
   $\frac{2x+1}{x–1}=x+m(x\ne 1)\iff x^2+(m–3)x–m–1=0 \left(1\right)$
   Khi đó  cắt (C)  tại hai điểm phân biệt  A và B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 
   $\iff \left\{\begin{array}{l}{(m–3)}^2+4(m+1)>0\\ 1^2+(m–3)–m–1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2–2m+13>0\\ –1\ne 0\end{array}\right.$ – luôn đúng
   Gọi A( x₁ ; x₁+m) ; B( x₂ ; x₂+m)  trong đó x₁ ; x₂ là nghiệm của (1) , theo Viet ta có 
   $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3–m\\ x_1{x}_2=–m–1\end{array}\right.$
   Gọi $\mathit{I}\mathbf{ }\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{x_1+x_2+2m}{2}\right)$ là trung điểm của AB, suy ra $\mathit{I} \left(\frac{3–m}{2};\frac{3+m}{2}\right)$, nên
   $\overrightarrow{IC}\left(–2–\frac{3–m}{2}; 5–\frac{3+m}{2}\right)$ 
   $\Rightarrow CI=\frac{1}{2}\sqrt{{(m–7)}^2+{(7–m)}^2}.$
   Mặt khác $\overrightarrow{AB}=(x_2–x_1; x_2–x_1)$
   $\Rightarrow AB=\sqrt{2{(x_2–x_1)}^2}=\sqrt{2{(m^2–2m+13)}^2}$
   Vậy tam giác ABC  đều khi và chỉ khi
   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Bất phương trình  2×3+3×2+6x+16-4-x≥23  có tập nghiệm là [a; b]. Hỏi tổng a2+ b2 có giá trị là bao nhiêu?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Bất phương trình  $\sqrt{2x^3+3x^2+6x+16}–\sqrt{4–x}\ge 2\sqrt{3}$  có tập nghiệm là [a; b]. Hỏi tổng a²+ b² có giá trị là bao nhiêu?

   A. 4

   B. 7

   C. 10

   D. 17

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Điều kiện: -2 ≤ x≤ 4.
   Xét $\sqrt{2x^3+3x^2+6x+16}–\sqrt{4–x}$  trên đoạn [ -2; 4].
   Có 
   $f‘\left(x\right)=\frac{3(x^2+x+1)}{\sqrt{2x^3+3x^2+6x+16}}+\frac{1}{2\sqrt{4–x}}>0 \forall x\in (–2;4).$
   Do đó hàm số đồng biến trên [-2; 4] 
   Lại có: f(1) = $2\sqrt{3}$ nên bất phương trình đã cho trở thành f(x) ≥  f(1)
   Kết hợp với điều kiện hàm số đồng biến suy ra x ≥ 1.
   Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bpt là [1; 4].
   Do đó: a² + b²= 17.
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====