Tính ∫xlnx+1x+12 dx .

Câu hỏi:

Tính $\int \frac{x\ln \left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}\text{\hspace{0.33em}d}x$ .

A. $\int \frac{x\ln \left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}\text{\hspace{0.33em}d}x=-\frac{x\ln \left(x+1\right)}{x+1}+\frac{x^2}{2}+C$

B. $\int \frac{x\ln \left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}\text{\hspace{0.33em}d}x=-\frac{x\ln \left(x+1\right)}{x+1}+\ln \left(x+1\right)+\frac{1}{x+1}+C$

C. $\int \frac{x\ln \left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}\text{\hspace{0.33em}d}x=\frac{x\ln \left(x+1\right)}{x+1}-\frac{1}{2}{\ln }^2\left(x+1\right)-\ln \left(x+1\right)-\frac{1}{x+1}+C$

D. $\int \frac{x\ln \left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}\text{\hspace{0.33em}d}x=-\frac{x\ln \left(x+1\right)}{x+1}+\frac{1}{2}{\ln }^2\left(x+1\right)+\ln \left(x+1\right)+\frac{1}{x+1}+C$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án DĐặt $\left\{\begin{array}{l}u=x.\ln \left(x+1\right)\\ \text{d}v=\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}\text{d}x\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\text{d}u=\left(\ln \left(x+1\right)+\frac{x}{x+1}\right)\text{d}x\\ v=-\frac{1}{x+1}\end{array}\right.$Ta được:$\int \frac{x\ln \left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}\text{\hspace{0.33em}d}x=-\frac{x\ln \left(x+1\right)}{x+1}+\int \left[\frac{\ln \left(x+1\right)}{x+1}+\frac{x}{{\left(x+1\right)}^2}\right]\text{\hspace{0.33em}d}x$$=-\frac{x\ln \left(x+1\right)}{x+1}+\int \left[\frac{\ln \left(x+1\right)}{x+1}+\frac{x+1-1}{{\left(x+1\right)}^2}\right]\text{\hspace{0.33em}d}x$$=-\frac{x\ln \left(x+1\right)}{x+1}+\int \left[\frac{\ln \left(x+1\right)}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}\right]\text{\hspace{0.33em}d}x$$=-\frac{x\ln \left(x+1\right)}{x+1}+\frac{1}{2}{\ln }^2\left(x+1\right)+\ln \left(x+1\right)+\frac{1}{x+1}+C$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết x2+2x−3 là một nguyên hàm của hàm số f(x).5×2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x).5×2 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết $x^2+2x-3$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}$. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{‘}\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}$ là

   A. $2+\left(x+1\right)\ln 5+C$

   B. $-\ln 5+C$

   C. $2x-\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln 5+C$

   Đáp án chính xác

   D. $2x+\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln 5+C$

   Trả lời:

   Đáp án C $x^2+2x-3$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}$$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(x^2+2x-3\right)}^{‘}=f\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}\\ \iff 2x+2=f\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}\iff f\left(x\right)=\frac{2x+2}{5^{\frac{x}{2}}}\end{array}$$\begin{array}{l}\Rightarrow f^{‘}\left(x\right)={\left(\frac{2x+2}{5^{\frac{x}{2}}}\right)}^{‘}=\frac{{2.5}^{\frac{x}{2}}-\left(2x+2\right)\left(\frac{1}{2}{.5}^{\frac{x}{2}}.\ln 5\right)}{{\left(5^{\frac{x}{2}}\right)}^2}=\frac{2-\left(x+1\right)\ln 5}{5^{\frac{x}{2}}}\\ \Rightarrow f^{‘}\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}=2-\left(x+1\right)\ln 5\end{array}$$\Rightarrow \int f^{‘}\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}dx=\int \left[2-\left(x+1\right)\ln 5\right]dx=2x-\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln 5+C.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số thỏa mãn  f'xsin x = fxcosx + 2sin2x.co s3x ; ∀x ∈ 0 ; π   ;  fπ4 = 13. Tìm ∫fxdx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số thỏa mãn  $f^{‘}\left(x\right)\sin x=f\left(x\right)cos\text{x\hspace{0.17em}}+2{\sin }^{2}x.cos3\text{x\hspace{0.17em}};\forall x\in \left(0;\pi \right);f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{3}$. Tìm $\int f\left(x\right)d\text{x}$

   A. $\frac{1}{12}(\sin 2\text{x\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-\sin 4\text{x) \hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}C}$

   B. $\frac{1}{12}(2\sin 2\text{x\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\sin 4\text{x) \hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}C}$

   C. $\frac{1}{12}(\sin 4\text{x\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-2\sin 2\text{x) \hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}C}$

   D. $\frac{1}{12}(2\sin 2\text{x\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-\sin 4\text{x) \hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}C}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DTacó:$f^{‘}\left(x\right)\sin x=f\left(x\right)cos\text{x\hspace{0.17em}}+2{\sin }^{2}x.cos3\text{x\hspace{0.17em}};\forall x\in \left(0;\pi \right)$$\iff \frac{f^{‘}\left(x\right)\sin x-f\left(x\right)cos\text{x\hspace{0.17em}}}{{\sin }^{2}x}=2cos3\text{x\hspace{0.17em}}$$\Rightarrow {\left(\frac{f\left(x\right)}{\sin x}\right)}^{‘}=2cos3\text{x}\Rightarrow \frac{f\left(x\right)}{\sin x}=\int 2cos3\text{x\hspace{0.17em}dx}$$\Rightarrow \frac{f\left(x\right)}{\sin x}=\frac{2}{3}\sin 3\text{x\hspace{0.17em}}+C_1$$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{3}\Rightarrow C_1=0\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{2}{3}sinx.\sin 3x$$\Rightarrow \int f\left(x\right)\text{d}x=\int \frac{2}{3}sinx.\sin 3x\text{\hspace{0.17em}d}x\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}}\frac{1}{3}\int \left(cos2x-\cos 4x\right)\text{dx\hspace{0.17em}}$$=\frac{1}{12}(2\sin 2\text{x\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-\sin 4\text{x) \hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}C}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Biết x+sinx là một nguyên hàm của hàm số fx.ex , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x)ex là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Biết $x+\sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right).e^x$ , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{‘}\left(x\right)e^x$ là

   A. $\cos x-\sin x+x+C$

   B. $-\cos x+\sin x+x+C$

   C. $\cos x-\sin x-x+C$

   Đáp án chính xác

   D. $-\cos x-\sin x-x+C$

   Trả lời:

   Đáp án CTa có $\int f\left(x\right)e^{x}dx=x+\sin x+C\Rightarrow f\left(x\right).e^x=1+\cos x\left(1\right)$Lấy đạo hàm hai vế của ta được$f^{‘}\left(x\right).e^x+f\left(x\right).e^x=-\sin x\iff f^{‘}\left(x\right).e^x=-\sin x-\cos x-1$Vậy ta có $\int f^{‘}\left(x\right).e^{x}dx=-\int \left(\sin x+\cos x+1\right)dx=\cos x-\sin x-x+C$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số f(x) có đạo hàm  f'x=ex    khi  x≥0e−x  khi  x<0 và f4=e . Đặt S=f−ln3+fln3+f−ln2+fln2+200 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số f(x) có đạo hàm  $f^{‘}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{e}^x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ge 0\\ e^{-x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x<0\end{array}\right.$ và $f\left(4\right)=e$ . Đặt $S=f\left(-\ln 3\right)+f\left(\ln 3\right)+f\left(-\ln 2\right)+f\left(\ln 2\right)+200$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

   A. $0<S<1$

   Đáp án chính xác

   B. $-3<S<-2$

   C. $-2<S<-1$

   D. $-4<S<-3$

   Trả lời:

   Đáp án ATa có: $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{e}^x+C_1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ge 0\\ -e^{-x}+C_2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x<0\end{array}\right.$ với  $C_1$ và $C_2$ là các hằng số thực.$f\left(4\right)=e\Rightarrow C_1=e-e^4$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=1+e-e^4$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-1+C_2$Do hàm số có đạo hàm $\forall x\in ℝ\Rightarrow$ Hàm số liên tục trên $ℝ$.$\Rightarrow -1+C_2=1+e-e^4=f\left(0\right)\Rightarrow C_2=2+e-e^4$Vậy $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{e}^x+e-e^4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ge 0\\ -e^{-x}+2+e-e^4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x<0\end{array}\right.$$S=f\left(-\ln 3\right)+f\left(\ln 3\right)+f\left(-\ln 2\right)+f\left(\ln 2\right)+200=\frac{49}{6}+4e-4e^4+200\approx 0,6$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm nguyên hàm I=∫x2002x+22005 dx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm nguyên hàm $I=\int \frac{x^{2002}}{{\left(x+2\right)}^{2005}}\text{\hspace{0.17em}d}x$

   A. $\frac{1}{4}.{\left(\frac{x}{x+2}\right)}^{2003}-\frac{1}{4}.{\left(\frac{x}{x+2}\right)}^{2004}+C$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{1}{8012}.{\left(\frac{x}{x+2}\right)}^{2003}+\frac{1}{8016}.{\left(\frac{x}{x+2}\right)}^{2004}+C$

   C. $\frac{1}{8008}.{\left(\frac{x}{x+2}\right)}^{2002}-\frac{1}{8012}.{\left(\frac{x}{x+2}\right)}^{2003}+C$

   D. $\frac{1}{8012}.{\left(\frac{x}{x+2}\right)}^{2003}-\frac{1}{8016}.{\left(\frac{x}{x+2}\right)}^{2004}+C$

   Trả lời:

   Đáp án D$I=\int \frac{x^{2002}}{{\left(x+2\right)}^{2005}}\text{\hspace{0.17em}d}x=\int {\left(\frac{x}{x+2}\right)}^{2002}.\frac{1}{x+2}.\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}d}x$Đặt $t=\frac{x}{x+2}\Rightarrow \text{d}t=\frac{2.\text{d}x}{{\left(x+2\right)}^2}$$I=\int t^{2002}.\frac{1-t}{2}.\frac{\text{d}t}{2}=\frac{1}{4}\int \left(t^{2002}-t^{2003}\right).\text{\hspace{0.17em}d}t=\frac{1}{8012}.t^{2003}-\frac{1}{8016}.t^{2004}+C$$\Rightarrow I=\frac{1}{8012}.{\left(\frac{x}{x+2}\right)}^{2003}-\frac{1}{8016}.{\left(\frac{x}{x+2}\right)}^{2004}+C$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====