Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của khối nón (N) là

Câu hỏi:

Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của khối nón (N) là

A. $\frac{32\pi R^3}{81}$

Đáp án chính xác

B. $\frac{32\pi R^3}{27}$

C. $\frac{32\pi R^3}{27}$

D. $\frac{32R^3}{27}$

Trả lời:

Chọn A

Ta có thể tích khối nón đỉnh S lớn hơn hoặc bằng thể tích khối nón đỉnh S’. Do đó chỉ cần xét khối nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy là r và đường cao là SI = h với $h\ge R$. Thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) là

$V=\frac{1}{3}h{S}_{\left(C\right)}=\frac{1}{3}h.\pi .r^2=\frac{1}{3}.h.\pi \left[R^2-{\left(h-R\right)}^2\right]=\frac{1}{3}\pi \left(-h^3+2h^{2}R\right)$
Xét hàm số $f\left(h\right)=-h^3+2h^{2}R$ với $h\in \left[R;2R\right)$
Ta có $f^{‘}\left(h\right)=-3h^2+4hR$
$f^{‘}\left(h\right)=0\iff -3h^2+4hR=0\iff h=0$ (loại) hoặc $h=\frac{4R}{3}$
Bảng biến thiên

Ta có $\max f\left(h\right)=\frac{32}{27}{R}^3$ tại $h=\frac{4R}{3}$
Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất là $V=\frac{1}{3}\pi \frac{32}{27}{R}^3=\frac{32}{81}\pi R^3$ khi $h=\frac{4R}{3}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====