Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có AB=23 và AA'=2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB'C' và BCMN.

Câu hỏi:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A’B’C’ có $AB=2\sqrt{3}$ và $AA‘=2$. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A’C’ và A’B’. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left(AB‘C‘\right)$ và $\left(BCMN\right)$.

A.$\frac{\sqrt{13}}{65}$

Đáp án chính xác

B.$\frac{-\sqrt{13}}{65}$

C.$\frac{\sqrt{13}}{130}$

D.$\frac{-\sqrt{13}}{130}$

Trả lời:

Đáp án A.Cách 1: Gọi P là giao điểm của  BN và A’B’=>P là trọng tâm $\Delta A‘B‘B$ .Q là giao điểm của CM và A’C’=>Q là trọng tâm $\Delta A‘C‘C$$\Rightarrow PQ//B‘C‘$ Ta có $\left(AB‘C‘\right)\cap \left(BCMN\right)=PQ$ .Gọi H là trung điểm của B’C’ và I là giao điểm của AH và PQ.I là trung điểm của PQ. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC và MN lần lượt tại J và K=>J là trung điểm BC và K là trung điểm MN. Ta có  $AB‘=AC‘\Rightarrow \Delta AB‘C‘$ cân tại $A\Rightarrow AH\perp BC\Rightarrow AI\perp PQ$ .Lại có $IJ\perp PQ\Rightarrow$  Góc giữa $\left(AB‘C‘\right)$và  $\left(BCMN\right)$ là góc giữa IJ và IA.Ta có:$\begin{array}{l}AC‘=\sqrt{A{C}^2+CC{‘}^2}\\ =\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2}=4\end{array}$$\begin{array}{l}\Rightarrow AH=\sqrt{AC{‘}^2-HC{‘}^2}\\ =\sqrt{4^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{13}\\ \Rightarrow AI=\frac{2}{3}AH=\frac{2\sqrt{13}}{3}\end{array}$$\begin{array}{l}BN=\sqrt{BB{‘}^2+B‘N^2}\\ =\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{7}\end{array}$$\begin{array}{l}KJ=NE=\sqrt{B{N}^2-E{B}^2}\\ =\sqrt{7-\frac{3}{4}}=\frac{5}{2}\\ \Rightarrow IJ=\frac{2}{3}KJ=\frac{5}{3}\end{array}$Lại có $AJ=\frac{2\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=3$ Trong $\Delta AIJ$  :$\begin{array}{l}\cos \widehat{AIJ}=\frac{I{J}^2+I{A}^2-A{J}^2}{2.IJ.IA}\\ =\frac{\frac{25}{9}+\frac{4.13}{9}-9}{2.\frac{5}{3}.\frac{2\sqrt{13}}{3}}=\frac{-\sqrt{13}}{65}\end{array}$ . Cosin của góc giữa $\left(AB‘C‘\right)$  và $\left(BCMN\right)$  là $\frac{\sqrt{13}}{65}$Cách 2: (Tọa độ hóa) Gọi T là trung điểm AC. Đặt $M=\left(0;0;0\right),B‘\left(3;0;0\right),$$C‘\left(0;\sqrt{3};0\right),T\left(0;0;2\right)$$\Rightarrow A\left(0;-\sqrt{3};2\right),B\left(3;0;2\right),$$C\left(0;\sqrt{3};2\right)$$\Rightarrow \overrightarrow{MB}=\left(3;0;2\right),\overrightarrow{MC}=\left(0;\sqrt{3};2\right)$ $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}\right]=\left(2\sqrt{3};6;6\sqrt{3}\right)$là một vecto pháp tuyến của .Lại có  $\overrightarrow{AB‘}=\left(3;\sqrt{3};-2\right),\overrightarrow{AC‘}=\left(0;2\sqrt{3};-2\right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{n‘}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}‘\right]=\left(2\sqrt{3};6;6\sqrt{3}\right)$là một vecto pháp tuyến của $\left(AB‘C‘\right)$ .Gọi $\alpha$  là góc giữa $\left(AB‘C‘\right)$  và $\left(MNBC\right)$ .Ta có:$\begin{array}{l}\cos \alpha =\left|\cos \left(\widehat{\overrightarrow{n};\overrightarrow{n‘}}\right)\right|\\ =\frac{\left|-2\sqrt{3}.2\sqrt{3}+\left(-6\right).6+3\sqrt{3}.6\sqrt{3}\right|}{\sqrt{{\left(-2\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-6\right)}^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}.\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+6^2+{\left(6\sqrt{3}\right)}^2}}\\ =\frac{\sqrt{13}}{65}\end{array}$ 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho số phức z=1−2i . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức z?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số phức $z=1-2i$ . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức z?

   A.$M_1\left(1;2\right)$

   Đáp án chính xác

   B.$M_2\left(-1;2\right)$

   C.$M_3\left(-1;-2\right)$

   D.$M_4\left(1;-2\right)$

   Trả lời:

   Đáp án A.Số phức liên hợp của $z=1-2i$  là $\overline{z}=1+2i$  .Do đó $M_1\left(1;2\right)$   là điểm biểu diễn của $\overline{z}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A2;−1;3,B3;5;−1 và C1;2;7. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left(2;-1;3\right),B\left(3;5;-1\right)$ và $C\left(1;2;7\right)$. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

   A.$G\left(2;2;3\right)$

   Đáp án chính xác

   B.$G\left(6;6;9\right)$

   C.$G\left(\frac{4}{3};\frac{7}{3};\frac{10}{3}\right)$

   D.$G\left(3;3;\frac{9}{2}\right)$

   Trả lời:

   Đáp án A.Ta có: $G=\left(\frac{2+3+1}{3};\frac{-1+5+2}{3};\frac{3+\left(-1\right)+7}{3}\right)=\left(2;2;3\right)$  .Chú ý: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Khi đó trọng tâm G của tam giác có tọa độ là $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Có 16 đội bóng tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kì đều gặp nhau đúng một lần?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có 16 đội bóng tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kì đều gặp nhau đúng một lần?

   A. 8

   B. 16

   C. 120

   Đáp án chính xác

   D. 240

   Trả lời:

   Đáp án C.Số trận đấu cần phải tổ chức là số tổ hợp chập 2 của 16, tức là bằng $C_{16}^2=120$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

   A. V=513$c{m}^3$

   B. V=999$c{m}^3$

   Đáp án chính xác

   C. V=1242$c{m}^3$

   D. V=1539$c{m}^3$

   Trả lời:

   Đáp án B.+ Thể tích của khối lập phương bằng $9^3=729$  ($c{m}^3$).+ Khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 9 (cm) và chiều cao bằng  (cm). Do đó khối chóp có thể tích bằng $\frac{1}{3}{.9}^2.10=270$  ($c{m}^3$).+ Vậy khối vật thể có thể tích bằng $729+270=999$  ($c{m}^3$).Chú ý:+ Khối lập phương có cạnh bằng a có thể tích là $a^3$ . + Công thức tính thể tích khối chóp:$V=\frac{1}{3}Bh$ , trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp. 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A0;0;3,B0;0;−1,C1;0;−1 và D0;1;−1. Mệnh đề nào dưới đây sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với $A\left(0;0;3\right),B\left(0;0;-1\right),C\left(1;0;-1\right)$ và $D\left(0;1;-1\right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

   A.$AB\perp BC$

   B.$AB\perp BD$

   C.$AB\perp CD$

   D.$AB\perp AC$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D.Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(0;0;-4\right),\overrightarrow{BC}=\left(1;0;0\right),$$\overrightarrow{BD}=\left(0;1;0\right),\overrightarrow{CD}=\left(-1;1;0\right),$$\overrightarrow{AC}=\left(1;0;-4\right)$ . Rõ ràng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}$$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0$ ,  nên suy ra D sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====