Câu hỏi:
Một mặt cầu tâm \(O\) nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh \(A,B,C\) thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài \(l,\) các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?
A.\(l \in \left( {1;\sqrt 2 } \right).\)
B.\(l \in \left( {2;3\sqrt 2 } \right).\)
C.\(l \in \left( {\sqrt 3 ;2} \right).\)
D. \(l \in \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right).\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn \(AB,\) kẻ \(OI \bot SD,\) dễ dàng chứng minh được \(OI \bot \left( {SAB} \right).\)
Suy ra \(I\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\) giao tuyến của mặt cầu tâm \(O\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right).\) Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của đường tròn \(\left( C \right)\) với \(SB,SA;K\) là trung điểm của \(MB.\)
Giả sử \(AB = a,\) theo giả thiết ta suy ra \(OC = 1 \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 1 \Leftrightarrow a = \sqrt 3 .\)
Ta có \(SD = CD = \frac{3}{2},OD = \frac{1}{2},SO = \sqrt {S{C^2} – O{C^2}} = \sqrt 2 ,OI = \frac{{SO.OD}}{{SD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3},\) \(ID = \frac{{O{D^2}}}{{SD}} = \frac{1}{6},SI = \frac{4}{3}.\)
Gọi \(r\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right),\) khi đó \(r = \sqrt {1 – O{I^2}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}.\)
Ta có tam giác \(SIK\) vuông tại \(K\) và góc \(\angle ISK = {30^0}\) suy ra \(IK = \frac{1}{2}IS = \frac{2}{3}\)
Xét tam giác \(MIK\) có \(\cos I = \frac{{IK}}{{IM}} = \frac{2}{{\sqrt 7 }} \Rightarrow I \approx {28^0} \Rightarrow \angle MIN \approx {64^0}\)
Khi đó chiều dài cung \(MN\) bằng \(\frac{{64}}{{180}}.\frac{{\sqrt 7 }}{3} = \frac{{16\sqrt 7 }}{{135}}.\) Vậy tổng độ dài \(l,\) các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là \(l = \frac{{16\sqrt 7 }}{{45}} \approx 0,94.\)
Đáp án D
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Đường cong hình sau là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho dưới đây, hỏi đó là hàm số nào?
Câu hỏi:
Đường cong hình sau là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho dưới đây, hỏi đó là hàm số nào?
A.\(y = – {x^3} + 3{x^2} + 2.\)
B.\(y = {x^3} – 3{x^2} + 2.\)
Đáp án chính xác
C.\(y = {x^4} + 3{x^2} + 2.\)
D. \(y = {x^4} – 3{x^2} + 2.\)
Trả lời:
Ta thấy đồ thị như hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) nên loại C, D.
Dựa vào đồ thị ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) nên \(a >0\) suy ra loại A.
Vậy ta chọn đáp án B.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng \(a.\) Tính thể tích của khối lăng trụ đó theo \(a.\)
Câu hỏi:
Cho khối lăng trụ đều \(ABC.A’B’C’\) có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng \(a.\) Tính thể tích của khối lăng trụ đó theo \(a.\)
A.\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)
Đáp án chính xác
B.\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}.\)
C.\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)
Trả lời:
Vì \(ABC.A’B’C’\) là khối lăng trụ đều nên có đáy \(ABC\) là tam giác đều và chiều cao \(AA’ = a.\)
Khi đó thể tích của khối lăng trụ đã cho là \(V = AA’.{S_{ABC}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) (đvtt).
Đáp án A====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Tính diện tích xung quanh \(S\) của hình nón có bán kính đáy \(r = 4\) và chiều cao \(h = 3.\)
Câu hỏi:
Tính diện tích xung quanh \(S\) của hình nón có bán kính đáy \(r = 4\) và chiều cao \(h = 3.\)
A.\(S = 40\pi .\)
B.\(S = 12\pi .\)
C.\(S = 20\pi .\)
Đáp án chính xác
D. \(S = 10\pi .\)
Trả lời:
Độ dài đường sinh của hình nón \(l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5.\)
Diện tích xung quanh của hình nón \(S = \pi rl = 4.5\pi = 20\pi .\)
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 2.\) Tính \({u_9}.\)
Câu hỏi:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 2.\) Tính \({u_9}.\)
A.\({u_9} = 26.\)
B.\({u_9} = 19.\)
Đáp án chính xác
C.\({u_9} = 16.\)
D. \({u_9} = 29.\)
Trả lời:
Ta có \({u_9} = {u_1} + \left( {9 – 1} \right)d = 3 + 8.2 = 19.\)
Đáp án B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?
Câu hỏi:
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?
A. 20.
B. 120.
Đáp án chính xác
C. 25.
D. \({5^3}.\)
Trả lời:
Mỗi cách sắp xếp 5 học sinh là một hoán vị của 5 phần tử.
Vậy có 5! = 120 cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc.
Đáp án B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====