Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2lnx+y2.5lnx+y=2ln5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x+1lnx+y+1lny.

Câu hỏi:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $2^{\ln \left(\frac{x+y}{2}\right)}{.5}^{\ln \left(x+y\right)}=2^{\ln 5}.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left(x+1\right)\ln x+\left(y+1\right)\ln y.$

A. $P_{\max }=\ln 2.$

B. $P_{\max }=10$.

C. $P_{\max }=0$.

Đáp án chính xác

D. $P_{\max }=1$.

Trả lời:

Ta có
$2^{\ln \left(\frac{x+y}{2}\right)}{.5}^{\ln \left(x+y\right)}=2^{\ln 5}$
$\iff {\left(x+y\right)}^{\ln 2}.{\left(x+y\right)}^{\ln 5}=2^{\ln 2}{.2}^{\ln 5}$
$\iff {\left(x+y\right)}^{\ln 2+\ln 5}=2^{\ln 2+\ln 5}$
$\iff x+y=2$
$\iff y=2-x\Rightarrow 0<x<2$
Khi đó $P=\left(x+1\right)\ln x+\left(y+1\right)\ln y=\left(x+1\right)\ln x+\left(3-x\right)\ln \left(2-x\right),0<x<2$
* $P‘=\ln x+\left(x+1\right)\frac{1}{x}-\ln \left(2-x\right)-\frac{x-3}{x-2}=\ln x-\ln \left(2-x\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}$
* $P“=\frac{1}{x}+\frac{1}{2-x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{\left(2-x\right)}^2}=\frac{-4{\left(x-1\right)}^2}{x^2{\left(2-x\right)}^2}\le 0,\forall x\in \left(0;2\right)$
Suy ra phương trình $P‘=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm mà $P\left(1\right)=0\iff x=1.$
BBT


Dựa theo BBT thì $P_{max}=0.$
Chọn C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho mặt cầu có diện tích bằng 8πa23. Bán kính mặt cầu bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho mặt cầu có diện tích bằng $\frac{8\pi a^2}{3}.$ Bán kính mặt cầu bằng

   A. $\frac{a\sqrt{2}}{3}.$

   B. $\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{a\sqrt{3}}{3}.$

   D. $\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

   Trả lời:

   Ta có $\mathrm{S}=4{\mathrm{\pi R}}^2\Rightarrow \mathrm{R}=\sqrt{\frac{\mathrm{S}}{4\mathrm{\pi }}}=\sqrt{\frac{8{\mathrm{\pi a}}^2}{3.4\mathrm{\pi }}}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{3}$

   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tính tích phân I=∫01dx3−2x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{3-2x}$

   A. $-\frac{1}{2}\ln 3.$

   B. $-\ln 3.$

   C. $\frac{1}{2}\ln 3.$

   Đáp án chính xác

   D. $\frac{1}{2}\log 3.$

   Trả lời:

   $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{3-2x}=-\frac{1}{2}\ln \left|3-2x\right|\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.=-\frac{1}{2}\ln 1+\frac{1}{2}\ln 3=\frac{1}{2}\ln 3$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giả sử ∫09fxdx=37 và ∫90gxdx=16. Khi đó, I=∫092fx+3gxdx bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giả sử $\underset{0}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)dx=37$ và $\underset{9}{\overset{0}{\int }}g\left(x\right)dx=16.$ Khi đó, $I=\underset{0}{\overset{9}{\int }}\left[2f\left(x\right)+3g\left(x\right)\right]dx$ bằng

   A. 122.

   B. 26.

   Đáp án chính xác

   C. 58.

   D. 143.

   Trả lời:

   Ta có 
   $\underset{9}{\overset{0}{\int }}g\left(x\right)dx=16\Rightarrow -\underset{0}{\overset{9}{\int }}g\left(x\right)dx=16\Rightarrow \underset{0}{\overset{9}{\int }}g\left(x\right)dx=-16.$
   $I=2\underset{0}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)dx+3\underset{0}{\overset{9}{\int }}g\left(x\right)dx=2.37+3.\left(-16\right)=26$

   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x=ty=−1−4tz=6+6t và đường thẳng d2:x2=y−11=z+2−5. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;-1;2) đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1-4t\\ z=6+6t\end{array}\right.$ và đường thẳng $d_2:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-5}.$ Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;-1;2) đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng d₁ và d₂.

   A. $\frac{x-1}{14}=\frac{y+1}{17}=\frac{z-2}{9}.$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{x-1}{14}=\frac{y+1}{7}=\frac{z-2}{-7}.$

   C. $\frac{x+1}{14}=\frac{y-1}{17}=\frac{z+2}{9}.$

   D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{3}.$

   Trả lời:

   Vectơ chỉ phương của d₁ và d₂ lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-4;6\right),\overrightarrow{u_2}=\left(2;1;-5\right).$
   Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(14;17;9\right)$
   Phương trình đường thẳng cần tìm là $\frac{x-1}{14}=\frac{y+1}{17}=\frac{z-2}{9}.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Họ nguyên hàm của hàm số fx=2x+sinx là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x+\sin x$ là

   A. $x^2-\cos x+C.$

   Đáp án chính xác

   B. $x^2+\frac{1}{2}\cos x+C.$

   C. $x^2-2\cos x+C.$

   D. $x^2+\cos x+C.$

   Trả lời:

   $\underset{}{\overset{}{\int }}\left(2x+\sin x\right)dx=x^2-\cos x+C.$

   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====