Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn fx+fπ2−x=sinx.cosx, với mọi x∈ℝ  và f(0) = 0. Giá trị của tích phân ∫0π2x.f’xdx bằng

Câu hỏi:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn $f\left(x\right)+f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x.\cos x,$ với mọi $x\in ℝ$  và f(0) = 0. Giá trị của tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x.f‘\left(x\right)dx$ bằng

A. $\frac{1}{4}.$

B. $\frac{\pi }{4}.$

C. $-\frac{1}{4}.$

Đáp án chính xác

D. $-\frac{\pi }{4}.$

Trả lời:

Thay $x=\frac{\pi }{2}$ vào đẳng thức $f\left(x\right)+f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x.\cos x\Rightarrow f\left(\frac{\pi }{2}\right)+f\left(0\right)=0\iff f\left(\frac{\pi }{2}\right)=0.$
Xét $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x.f‘\left(x\right)dx$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=f‘\left(x\right)dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=f\left(x\right)\end{array}\right.$
$\Rightarrow I=x.f\left(x\right)\left|{}_0^{\frac{\pi }{2}}\right.-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx\left(1\right)$
Lại có: $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin x.\cos xdx$
$\iff 2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2xdx\iff 2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}\iff \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{4}.$
 
Vậy $I=-\frac{1}{4}.$
Chọn C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh vào một ghế dài từ một nhóm gồm 10 học sinh?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh vào một ghế dài từ một nhóm gồm 10 học sinh?

   A. ${10}^5.$

   B. $5^{10}.$

   C. $C_{10}^5.$

   D. $A_{10}^5.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Số cách sắp xếp 5 học sinh vào một ghế dài từ một nhóm gồm 10 học sinh là: $A_{10}^5.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho cấp số cộng un với u1=5 và u2=15. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với $u_1=5$ và $u_2=15.$ Công sai của cấp số cộng đã cho bằng 

   A. 20.                          

   B. 75.                          

   C. 3.                               

   D. 10.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Công sai của cấp số cộng là: $d=u_2-u_1=15-5=10.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Nghiệm của phương trình 5x+1=125 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Nghiệm của phương trình $5^{x+1}=125$ là

   A. x = 2

   Đáp án chính xác

   B. x = 3

   C. x = 0

   D. x = 1

   Trả lời:

   Ta có: $5^{x+1}=125\iff x+1=3\iff x=2.$
   Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2.
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Thể tích của khối lập phương cạnh 23 bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích của khối lập phương cạnh $2\sqrt{3}$ bằng

   A. $24\sqrt{3}.$

   Đáp án chính xác

   B. $54\sqrt{2}.$

   C. 8

   D. $18\sqrt{2}$

   Trả lời:

   Thể tích khối lập phương có cạnh $2\sqrt{3}$ là $V={\left(2\sqrt{3}\right)}^3=24\sqrt{3}$ (đvtt).
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tập xác định của hàm số y=log23x−6 là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập xác định của hàm số $y={\log }_2\left(3x-6\right)$ là 

   A. $\left(-\infty ;2\right).$

   B. $\left(2;+\infty \right)$

   Đáp án chính xác

   C. $\left(-\infty ;+\infty \right)$

   D. $\left(0;+\infty \right)$

   Trả lời:

   Hàm số xác định $\iff 3x-6>0\iff x>2.$
   Vậy $D=\left(2;+\infty \right).$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====