Cho hàm số y=x4−3×2+m có đồ thị là Cm với m là số thực. Giả sử Cm cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ.                                 Gọi S1,S2,S3 lần lượt là diện tích các miền gạch chéo được cho như hình vẽ. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị m=ab với a, b là các số nguyên dương và ab tối giản sao cho S1+S3=S2. Đặt T = a + b. Mệnh đề nào đúng?

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=x^4-3x^2+m$ có đồ thị là $\left(C_m\right)$ với m là số thực. Giả sử $\left(C_m\right)$ cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ.                                

Gọi $S_1,S_2,S_3$ lần lượt là diện tích các miền gạch chéo được cho như hình vẽ. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị $m=\frac{a}{b}$ với a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản sao cho $S_1+S_3=S_2.$ Đặt T = a + b. Mệnh đề nào đúng?

A. $T\in \left(8;10\right)$

Đáp án chính xác

B. $T\in \left(10;13\right)$

C. $T\in \left(4;6\right)$

D. $T\in \left(6;8\right)$

Trả lời:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^4-3x^2+m=0\left(1\right).$
Đặt $t=x^2$ ta có $t^2-3t+m=0\left(2\right).$
Vì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\Delta =9-4m>0\\ S=3>0\\ P=m>0\end{array}\right.\iff 0<m<\frac{9}{4}.$
 
Giả sử $t_1<t_2$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (2) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $-\sqrt{t_2}<-\sqrt{t_1}<\sqrt{t_1}<\sqrt{t_2}$.
Do tính đối xứng nên ta dễ có
$S_1=S_3=\underset{\sqrt{t_1}}{\overset{\sqrt{t_2}}{\int }}\left(-x^4+3x^2-m\right)dx$
     
$=\left(-\frac{x^5}{5}+x^3-mx\right)\left|\begin{array}{l}\sqrt{t_2}\\ \sqrt{t_1}\end{array}\right.$
     $=-\frac{1}{5}\left(t_2^2\sqrt{t_2}-t_1^2\sqrt{t_1}\right)+\left(t_2\sqrt{t_2}-t_1\sqrt{t_1}\right)-m\left(\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}\right)$
$S_2=\underset{-\sqrt{t_1}}{\overset{\sqrt{t_1}}{\int }}\left(x^4-3x^2+m\right)dx=\left(\frac{x^5}{5}-x^3+mx\right)\left|\begin{array}{l}\sqrt{t_1}\\ -\sqrt{t_1}\end{array}\right.$
     
$=2\left(\frac{t_1^2\sqrt{t_1}}{5}-t_1\sqrt{t_1}+m\sqrt{t_1}\right)$
Theo bài ra ta có: $S_1+S_3=2S_2$
$\iff -\frac{1}{5}\left(t_2^2\sqrt{t_2}-t_1^2\sqrt{t_1}\right)+\left(t_2\sqrt{t_2}-t_1\sqrt{t_1}\right)-m\left(\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}\right)=\frac{t_1^2\sqrt{t_1}}{5}-t_1\sqrt{t_1}+m\sqrt{t_1}$
$\iff -\frac{1}{5}{t}_2^2\sqrt{t_2}+t_2\sqrt{t_2}-m\sqrt{t_2}=0$
$\iff \sqrt{t_2}\left(-\frac{1}{5}{t}_2^2+t_2-m\right)=0$
$\iff -\frac{1}{5}{t}_2^2+t_2-m=0\left(3\right)$ (do $t_2>0$)
Vì $t_2$ là nghiệm của phương trình (2) nên $t_2^2-3t_2+m=0\iff m=-t_2^2+3t_2.$
Thay vào (3) ta có:
$-\frac{1}{5}{t}_2^2+t_2+t_2^2-3t_2=0$
$\iff \frac{4}{5}{t}_2^2-2t_2=0$
$\iff \left[\begin{array}{l}{t}_2=0\left(ktm\right)\\ t_2=\frac{5}{2}\left(tm\right)\end{array}\right.$
 
Khi đó $m=-t_2^2+3t_2=-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+3.\frac{5}{2}=\frac{5}{4}\left(tm\right)\Rightarrow a=5,b=4.$
Vậy $T=a+b=5+4=9\in \left(8;10\right).$
Chọn A.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai số phức z1=2−i và z2=−1+4i. Tìm số phức z=z1+z2. 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai số phức $z_1=2-i$ và $z_2=-1+4i.$ Tìm số phức $z=z_1+z_2.$ 

   A. z = 1 + 3i

   Đáp án chính xác

   B. z = 3 – 5i

   C. z = 1 – 3i

   D. z = -3 + 5i

   Trả lời:

   $z=z_1+z_2=\left(2-i\right)+\left(-1+4i\right)=1+3i.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho khối chóp có thể tích bằng 18cm3 và diện tích đáy bằng 9cm2. Chiều cao của khối chóp đó là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp có thể tích bằng $18c{m}^3$ và diện tích đáy bằng $9c{m}^2.$ Chiều cao của khối chóp đó là: 

   A. 2cm

   B. 6cm

   Đáp án chính xác

   C. 3cm

   D. 4cm

   Trả lời:

   Chiều cao khối chóp là $h=\frac{3.18}{9}=6\left(cm\right).$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức 

   A. z = 3 + 5i

   B. z = 3 – 5i

   C. z = -5 + 3i

   Đáp án chính xác

   D. 5 + 3i

   Trả lời:

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức z = -5 + 3i
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian Oxyz, mặt cầu S:x2+y2+z2−2x+4y+2z−3=0 có bán kính là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$ có bán kính là:

   A. $3\sqrt{3}$

   B. 3

   Đáp án chính xác

   C. $\sqrt{3}$

   D. 9

   Trả lời:

   Trong không gian Oxyz, mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$ có bán kính là $R=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2-\left(-3\right)}=3.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x33+2×2+3x−4 trên đoạn [-4; 0]. Giá trị mM bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x-4$ trên đoạn [-4; 0]. Giá trị $\frac{m}{M}$ bằng:

   A. $\frac{8}{3}$

   B. $\frac{3}{4}$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{4}{3}$

   D. $\frac{64}{3}$

   Trả lời:

   Ta có $y=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x-4\Rightarrow y‘=x^2+4x+3.$
   $y‘=0\iff x^2+4x+3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=-3\end{array}\right.\in \left[-4;0\right]$.
   $y\left(-4\right)=y\left(-1\right)=-\frac{16}{3},y\left(-3\right)=y\left(0\right)=-4.$
   $\Rightarrow \underset{\left[-4;0\right]}{\min }y=-\frac{16}{3};\underset{\left[-4;0\right]}{\max }y=-4=M.$
   Vậy $\frac{m}{M}=\frac{-\frac{16}{3}}{-4}=\frac{4}{3}.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====