Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5). Biết rằng mặt cầu (S):(x−1)2+y−22+(z−3)2=25 cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi 8π . Giá trị của biểu thức a + b + c bằng

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5). Biết rằng mặt cầu (S):${(x-1)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{(z-3)}^2=25$ cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi $8\pi$ . Giá trị của biểu thức a + b + c bằng

A. 40

Đáp án chính xác

B. 4

C. 20

D. 30

Trả lời:

Đáp án A
Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$
Vì mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5) nên ta có $\frac{2}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}=1$  và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)$ .
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.
Ta có $\overrightarrow{IM}=(1;2;2)$  nên IM = 3 (1)
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC).
Khi đó giao tuyến của (ABC) với mặt cầu (S) là đường tròn tâm H có chu vi bằng $8\pi$  suy ra bán kính r = 4.
Ta có $IH=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\left(2\right)$
Vì $IH\perp \left(ABC\right)$  và $M\in \left(ABC\right)$  nên $IM\ge IH$  (3)
Từ (1), (2) ta có IM = IH = 3. Do đó (3) phải xảy ra đẳng thức hay $M\equiv H.$
Khi đó $IM\perp \left(ABC\right)$  nên $\overrightarrow{IM}$  là vectơ pháp tuyến của (ABC).
Suy ra $\overrightarrow{n}=k\overrightarrow{IM}(k\ne 0)\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}=k.\\ \frac{1}{b}=2k\\ \frac{1}{c}=2k\end{array}\right.$ .
Vì $\frac{2}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}=1$  nên $2k+8k+10k=1\iff k=\frac{1}{20}.$
Từ đó suy ra a = 20, b = 10, c = 10.
Vậy a + b + c = 40.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=f(x)  có bảng biến thiên Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có bảng biến thiên
   
   Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là

   A. 4

   B. 2

   Đáp án chính xác

   C. 3

   D. 1

   Trả lời:

   Đáp án B
   Tập xác định của hàm số $y=f\left(x\right)$  là $D=\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(-2;+\infty \right)$ .
   * $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  khi $x\to -\infty$ .
   *  $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \Rightarrow x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ khi $x\to -2^{+}$ .
   Vậy đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
   

   A. $y=-x^4+3x^2-2.$

   B. $y=-x^4+2x^2-1.$

   Đáp án chính xác

   C. $y=-x^4+x^2-1.$

   D. $y=-x^4+3x^2-3.$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 nên loại hai đáp án A và D,
   Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 0) nên loại đáp án C. Do đó, đáp án chính xác là B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Rút gọn biểu thức P=a3−13+1a4−5.a5−2 ( với a > 0 và a≠1 ) ta được
   
   

   Câu hỏi:
   

   Rút gọn biểu thức $P=\frac{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}{a^{4-\sqrt{5}}.a^{\sqrt{5}-2}}$ ( với a > 0 và $a\ne 1$ ) ta được

   A. $P=2$

   B. $P= a^2$

   C. $P=1$

   Đáp án chính xác

   D. $P=a$

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có: $P=\frac{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}{a^{4-\sqrt{5}}.a^{\sqrt{5}-2}}=\frac{a^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}}{a^{4-\sqrt{5}+\sqrt{5}-2}}=\frac{a^2}{a^2}=1.$
   Trắc nghiệm.
   Nhập vào máy tính $\frac{{\left(A^{\sqrt{3}}–1\right)}^{\sqrt{3}+1}}{A^{4–\sqrt{5}}\times A^{\sqrt{5}–2}}$
   Sau đó bấm CALC thay một giá trị bất kì thỏa mãn a > 0 và $a\ne 1$ và các đáp án phải khác nhau. Ta chọn A = 3. Khi đó ta có kết quả.
   $\frac{{\left(A^{\sqrt{3}}–1\right)}^{\sqrt{3}+1}}{A^{4–\sqrt{5}}\times A^{\sqrt{5}–2}}$
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm tập xác định D của hàm số y=log2(x2−2x−3).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tập xác định D của hàm số $y={\log }_2(x^2-2x-3)$.

   A. $D=\text{[}-1;3]$

   B. $D=(-1;3)$

   C. $D=(-\infty ;-1]\cup \text{[}3;+\infty ).$

   D. $D=(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty ).$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Hàm số xác định khi $x^2-2x-3>0\iff \left[\begin{array}{l}x<-1\\ x>3\end{array}\right.$
   Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left(-\infty ;-1\right)\cup (3;+\infty ).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=1sin2x+π3 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}$ .

   A. $\int f\left(x\right)dx=-\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+C.$

   Đáp án chính xác

   B. $\int f\left(x\right)dx=-\frac{1}{3}\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+C.$

   C. $\int f\left(x\right)dx=\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+C.$

   D. $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+C.$

   Trả lời:

   Đáp án A
   $\int \frac{dx}{{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}=\int \frac{d\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}{{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}=-\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+C$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====