Cho parabol P:y=x2 và hai điểm A,B  thuộc P  sao cho AB=2 . Tìm diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi P  và đường thẳng AB.

Câu hỏi:

Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và hai điểm $A,B$  thuộc $\left(P\right)$  sao cho $AB=2$ . Tìm diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi $\left(P\right)$  và đường thẳng $AB$.

A. $\frac{4}{3}$

Đáp án chính xác

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Trả lời:

Đáp án A
Gọi $A\left(a;a^2\right),B\left(b;b^2\right)$  với $a<b$ . Ta có $AB=2\iff {\left(b-a\right)}^2+{\left(b^2-a^2\right)}^2=4$
$\begin{array}{l}AB:\frac{x-a}{b-a}=\frac{y-a^2}{b^2-a^2}\iff \frac{x-a}{1}=\frac{y-a^2}{b+a}\iff y=\left(a+b\right)\left(x-a\right)+a^2\iff y=\left(a+b\right)x-ab\\ S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(\left(a+b\right)x-ab-x^2\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(x-a\right)\left(b-x\right)dx\end{array}$
Đặt $t=x-a$.
Suy ra $S=\underset{0}{\overset{b-a}{\int }}t\left(b-a-t\right)dt=\underset{0}{\overset{b-a}{\int }}\left(\left(b-a\right)t-t^2\right)dt=\frac{\left(b-a\right)t^2}{2}\left|{}_0^{b-a}\right.-\frac{t^3}{3}\left|{}_0^{b-a}\right.=\frac{{\left(b-a\right)}^3}{6}$
Ta có: ${\left(b-a\right)}^2+{\left(b^2-a^2\right)}^2=4\iff {\left(b-a\right)}^2\left(1+{\left(b+a\right)}^2\right)=4\iff {\left(b-a\right)}^2=\frac{4}{1+{\left(a+b\right)}^2}\le 4$.
Suy ra $b-a\le 2\Rightarrow S=\frac{{\left(b-a\right)}^3}{6}\le \frac{2^3}{6}=\frac{4}{3}$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}a+b=0\\ b-a=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=1\\ a=-1\end{array}\right.\iff A\left(-1;1\right),B\left(1;1\right)$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=fx  xác định trên ℝ\1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới: Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  xác định trên $ℝ\backslash \left\{1\right\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới:
   
   Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

   A. 1

   B. 2

   C. 3

   Đáp án chính xác

   D. 4

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-3\Rightarrow y=-3$  là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
    $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=2\Rightarrow y=2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
    $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty \Rightarrow x=1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
   Vậy đồ thị đã cho có ba đường tiệm cận.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho mặt cầu có diện tích là 72πcm2 . Bán kính R  của khối cầu là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho mặt cầu có diện tích là $72\pi \left(c{m}^2\right)$ . Bán kính $R$  của khối cầu là:

   A. $R=3\sqrt{2}\left(cm\right)$

   Đáp án chính xác

   B. $R=6\left(cm\right)$

   C. $R=3\left(cm\right)$

   D. $R=\sqrt{6}\left(cm\right)$

   Trả lời:

   Đáp án A
   Có $S=4\pi R^2=72\pi \Rightarrow R=\sqrt{\frac{72\pi }{4\pi }}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\left(cm\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian Oxyz , cho điểm H−1;3;2 , hình chiếu H  của trên mặt phẳng Oyz  có tọa độ là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $H\left(-1;3;2\right)$ , hình chiếu $H$  của trên mặt phẳng $\left(Oyz\right)$  có tọa độ là:

   A. $\left(-1;0;0\right)$

   B. $\left(0;3;2\right)$

   Đáp án chính xác

   C. $\left(-1;0;2\right)$

   D. $\left(-1;-3;-2\right)$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Hình chiếu của $H$  trên mặt phẳng $\left(Oyz\right)$  là $H‘\left(0;3;2\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Hàm số y=fx  có bảng biến thiên như hình bên: Hỏi hàm y=fx  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=f\left(x\right)$  có bảng biến thiên như hình bên:
   
   Hỏi hàm $y=f\left(x\right)$  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

   A. $\left(-\frac{3}{2};-1\right)$

   Đáp án chính xác

   B. $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

   C. $\left(0;\frac{1}{2}\right)$

   D. $\left(-\frac{1}{2};0\right)$

   Trả lời:

   Đáp án A
   Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{3}{2};-1\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Hàm số nào sau đây đồng biến trên 0;+∞ ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ ?

   A. $y={\log }_{\frac{1}{e}}x$

   B. $y={\log }_{\sqrt{2}}x$

   Đáp án chính xác

   C. $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$

   D. $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Hàm số $y={\log }_{a}x$  đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi $a>1$ .
   Vì $\sqrt{2}>1$  nên hàm số $y={\log }_{\sqrt{2}}x$  đồng biến trên tập xác định $\left(0;+\infty \right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====