Phương pháp giải Cực trị của hàm số 2023 (lý thuyết và bài tập)

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Bài giảng Toán học 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

A. LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa 

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ và điểm $x_0\in (a;b).$

– Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho  $f(x)<f(x_0),\forall x\in (x_0-h;x_0+h),x\ne x_0$  thì ta nói hàm số $f$ đạt cực đại tại $x_0.$

– Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f(x)>f(x_0),\forall x\in (x_0-h;x_0+h),x\ne x_0$ thì ta nói hàm số $f$ đạt cực tiểu tại $x_0.$

Chú ý:

a) Cần phân biệt các các khái niệm:

– Điểm cực trị $x_0$ của hàm số.

– Giá trị cực trị của hàm số.

– Điểm cực trị $\left(x_0;y_0\right)$ của đồ thị hàm số.

b) Nếu $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$ và đạt cực trị tại $x_0\in \left(a;b\right)$ thì $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$.

 

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 1. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $K=(x_0-h;x_0+h)(h>0)$ và có đạo hàm trên $K$ hoặc trên $K\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$

+) Nếu $\{\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)>0|\mathrm{\forall }\left(x_0-h;x_0\right)\hfill \\ f^{\prime }\left(x\right)<0|\mathrm{\forall }\left(x_0;x_0+h\right)\hfill \end{array}$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số

+) Nếu $\{\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)<0|\mathrm{\forall }\left(x_0-h;x_0\right)\hfill \\ f^{\prime }\left(x\right)>0|\mathrm{\forall }\left(x_0;x_0+h\right)\hfill \end{array}$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số 

Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Định lý 2:

Giả sử $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp 2 trong $\left(x_0-h;x_0+h\right)\left(h>0\right)$.

 

a) Nếu $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=0\\ f^{″}\left(x_0\right)>0\end{array}$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếu $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=0\\ f^{″}\left(x_0\right)<0\end{array}$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số.

 

3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau:

Quy tắc 1: (suy ra từ định lý 1)

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

– Bước 2: Tính $f^{\prime }\left(x\right)$, tìm các điểm tại đó $f^{\prime }\left(x\right)=0$ hoặc không xác định.

– Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Quy tắc 2: (suy ra từ định lý 2)

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

– Bước 2: Tính $f^{\prime }\left(x\right)$, giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x_1,...,x_n$ là các nghiệm của nó.

– Bước 3: Tính $f^{″}\left(x\right)$ và $f^{″}\left(x_i\right)$.

– Bước 4: Dựa và dấu của $f^{″}\left(x_i\right)$ suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

+ Tại các điểm $x_i$ mà $f^{″}\left(x_i\right)>0$ thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm $x_i$ mà $f^{″}\left(x_i\right)<0$ thì đó là điểm cực đại của hàm số.

B. BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng: 

A. 5

B. 2

C. 0

D. 1

Câu 2. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Câu 3. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu f^‘(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x₀ và f(x) liên tục tại x₀ thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x₀

B. Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x₀ khi và chỉ khi x₀ là nghiệm của f^‘(x) = 0

C. Nếu f^‘(x₀) = 0 và f^”(x₀) = 0 thì x₀ không là điểm cực trị của hàm số y = f(x)

D. Nếu f^‘(x₀) = 0 và f^”(x₀) > 0 thì hàm số đạt cực đại tại x₀

Câu 4. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x₀ – h; x₀ + h) với h > 0 Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu f^‘(x₀) = 0 và f^”(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số.

B. Nếu f^‘(x₀) = 0 và f^”(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số.

C. Nếu f^‘(x₀) = 0 và f^”(x₀) = 0 thì x₀ không là điểm cực trị của hàm số.

D. Nếu f^‘(x₀) = 0 và f^”(x₀) = 0 thì chưa kết luận được x₀ có là điểm cực trị của hàm số.

Câu 5. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau :

Điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. x = 3 

B. x = 2 

C. x = -2 

D. x = -1

Câu 6. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên.

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0. 

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Câu 7. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên.

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 8. Hàm số y = 2x³ – x² + 5 có điểm cực đại là:

A. 1/3 

B. 5 

C. 3 

D. 0

Câu 9. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số  ?

A. 4. 

B. 1.

C. 0. 

D. 3.

Câu 10. Hàm số y = -x⁴ – x² + 1 có mấy điểm cực trị?

A. 3. 

B. 0. 

C. 1. 

D. 2.

Câu 11. Gọi x₁,x₂ là hai điểm cực trị của hàm số . Giá trị của x₁² + x₂² bằng:

A. 13 

B. 32 

C. 4 

D. 36

Câu 20.(Mã đề 101 -BGD -2019) Cho hàm số ( )f xcó đạo hàm 2( )2 , xf x x x   . Số điểm cực trị của hàm số đã cho làA.2.B.1.C.0.D.3.Câu 21.(Mã 103 -BGD -2019) Cho hàm số f xcó đạo hàm 21 ,.f x x xx R   Số điểm cực trị của hàm số đã cho làA.2.B.0.C.1.D.3.Câu 22.(Mã đề 104 -BGD -2019) Cho hàm số f xcó đạo hàm 21 , f x x xx   . Số điểm cực trị của hàm số đã cho làA.1.B.2.C.3.D.0

Câu 20.(Mã đề 101 -BGD -2019) Cho hàm số ( )f xcó đạo hàm 2( )2 , xf x x x   . Số điểm cực trị của hàm số đã cho làA.2.B.1.C.0.D.3.Câu 21.(Mã 103 -BGD -2019) Cho hàm số f xcó đạo hàm 21 ,.f x x xx R   Số điểm cực trị của hàm số đã cho làA.2.B.0.C.1.D.3.Câu 22.(Mã đề 104 -BGD -2019) Cho hàm số f xcó đạo hàm 21 , f x x xx   . Số điểm cực trị của hàm số đã cho làA.1.B.2.C.3.D.0

Xem thêm