Phương pháp giải về Ứng dụng tích phân 2023 (lý thuyết và bài tập)

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu bài tập Ứng dụng tích phân Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 45 trang, tuyển chọn 61 bài tập Ứng dụng tích phân đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và lời giải, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

A. LÝ THUYẾT ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ; b], trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định: \(S = \int_a^b | f(x)|dx\)

\((H)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = f(x)}\\{y = 0}\\{x = a}\\{x = b}\end{array}} \right.\)

\(S = \int_a^b | f(x)|dx\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định: \(S = \int_a^b | f(x) – g(x)|dx\)

\((H)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{C_1}} \right):y = {f_1}(x)}\\{\left( {{C_2}} \right):y = {f_2}(x)}\\{x = a}\\{x = b}\end{array}} \right.\)

\(S = \int_a^b {\left| {{f_1}(x) – {f_2}(x)} \right|} dx\)

Chú ý:

– Nếu trên đoạn [a ; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: \(\int_a^b | f(x)|dx = \left| {\int_a^b f (x)dx} \right|\)

– Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

– Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), x=h(y) và hai đường thẳng y=c, y=d được xác định: \(S = \int_c^d | g(y) – h(y)|dy\)

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

a) Thể tích vật thể:

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x \((a \le x \le b)\). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: \(V = \int_a^b S (x)dx\)

b) Thể tích khối tròn xoay:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(C):y = f(x)}\\{(Ox):y = 0}\\{x = a}\\{x = b}\end{array}} \right.\)

\({V_x} = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f(x)} \right]}^2}d{\rm{x}}} \)

Chú ý:

– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), trục hoành và hai đường thẳng y=c, y=d quanh trục Oy:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(C):y = g(y)}\\{(Oy):x = 0}\\{y = c}\\{y = d}\end{array}} \right.\)

\({V_y} = \pi \int\limits_c^d {{{\left[ {g(y)} \right]}^2}dy} \)

– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục O x :

\(V = \pi \int_a^b {\left| {{f^2}(x) – {g^2}(x)} \right|} dx\)

3. Bài toán chuyển động của vật thể

Với bài toán chuyển động giả sử vận tốc tức thời của vật là $v\left(t\right)$ thì $v\left(t\right)=s^{\prime }\left(t\right)$

Gia tốc tức thời của vật: $a\left(t\right)=v^{\prime }\left(t\right)=s^{″}\left(t\right)$

Do đó quãng đường vật đi được từ thời điểm $t_1$ đến $t_2$ là $S=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}v\left(t\right)dt.$

Vận tốc tức thời của vật: $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt$

B. BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Câu 1.  Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

A.  ${\int }_{–1}^2(–2x^2 + 2x + 4)dx .$                                   B.  ${\int }_{–1}^2 (2x^2– 2x – 4)dx .$

C. ${\int }_{–1}^2(–2x^2 – 2x + 4)dx .$                             D.  ${\int }_{–1}^2 (2x^2+ 2x – 4)dx .$

Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường bởi công thức nào sau đây? y = 2x² , y = -1, x = 0 và x =1 được tính

A. S = $\mathrm{\pi }{\int }_0^1(2{\mathrm{x}}^2+1)\mathrm{dx}$ . 

B. S =$\mathrm{\pi }{\int }_0^1(2{\mathrm{x}}^2 –1)\mathrm{dx}$ .   

C. S = $\mathrm{\pi }{\int }_0^1(2{\mathrm{x}}^2 +1) \mathrm{dx}$ .

D. $S = \mathrm{\pi }{\int }_0^1 (2x^2 +1)dx .$

Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.

A. $3\ln 6$

B. $3\ln \frac{3}{2}$

C. $3\ln \frac{3}{2}-2$

D.$3\ln \frac{3}{2}-1$

Câu 4. Hình phẳng C giới hạn bởi các đường $y=x^2+1$, trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2+1$ tại điểm (1; 2), khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:

A. $V=\frac{4}{5}\pi .$

B. $V=\frac{28}{15}\pi .$

C. $V=\frac{8}{15}\pi .$

D. $V=\pi .$

Câu 5. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=e^x$, trục hoành và các đường thẳng x = 0; x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

A. $V=\frac{\pi e^2}{2}$

B. $V=\frac{\pi (e^2+1)}{2}$

C. $V=\frac{e^2-1}{2}$

D. $V=\frac{\pi (e^2-1)}{2}$

Câu 6. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=2x-x^2$ và y = x khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:

A. $V=\frac{\pi }{3}.$

B. $V=\frac{\pi }{4}.$

C. $V=\frac{\pi }{5}.$

D. $V=\pi .$

Câu 7: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị của vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phân của đường parabol có đỉnh I(2 ; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn hàng phần trăm:

A. s = 23,25 (km)

B. s = 21,58 (km)

C. s = 15,50 (km).

D. s = 13,83(km).

Câu 8: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị của vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh I(2 ; 9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó

A. s = 24,25 (km)

B. s = 26,75 (km)

C. s = 24,75 (km)

D. s = 25,25 (km)

Câu 9: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị của vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2 ; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó.

A. s = 26,25 (km).

B. s = 28,5 (km)

C. s = 27 (km)

D. s = 24 (km)

Câu 10: Một người chạy trong 1 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị của vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh $I\left(\frac{1}{2};8\right)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ bên. Tính quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy.

A. s = 4 (km).

B. s = 2,3 (km)

C. s = 4,5 (km)

D. s = 5,3 (km)

Xem thêm