Giải Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 3: Phép chia số phức

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 136 SGK Giải tích 12: Cho $z=2+3i$. Hãy tính $z+\overline{z}$ và $z.\overline{z}$. Nêu nhận xét.

Phương pháp giải:

Tính $\overline{z}$ rồi thực hiện các phép tính cộng, nhân số phức.

Lời giải:

Ta có: $z=2+3i\Rightarrow \overline{z}=2-3i$.

Khi đó $z+\overline{z}=\left(2+3i\right)+\left(2-3i\right)$ $=2+3i+2-3i=4$

$z.\overline{z}=\left(2+3i\right)\left(2-3i\right)$ $=2^2-{\left(3i\right)}^2=4+9=13$.

Nhận xét:

Tổng của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.

Tích của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.

Trả lời câu hỏi 2 trang 138 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép chia sau:

$\frac{1+i}{2-3i};\frac{6+3i}{5i}$

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& \frac{1+i}{2-3i}=\frac{(1+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}\\ & =\frac{2+2i+3i+3i^2}{2^2-9i^2}\\ & =\frac{2+5i-3}{13}=\frac{-1}{13}+\frac{5i}{13}\\ & \frac{6+3i}{5i}=\frac{(6+3i)(-5i)}{5i(-5i)}\\ & =\frac{-30i-15i^2}{-25i^2}=\frac{-30i+15}{25}\\ & =\frac{-6i+3}{5}\end{array}$

Câu hỏi và bài tập (trang 138 Giải tích 12)
Bài 1 trang 138 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép chia sau:

a) $\frac{2+i}{3-2i}$; 

b) $\frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}$;

c) $\frac{5i}{2-3i}$; 

d) $\frac{5-2i}{i}$. 

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

Chú ý: $i^2=-1.$

Lời giải:

a)

$\frac{2+i}{3-2i}=\frac{\left(2+i\right)\left(3+2i\right)}{\left(3-2i\right)\left(3+2i\right)}$ $=\frac{6+7i+2i^2}{9+4}=\frac{4}{13}+\frac{7}{13}i.$

b)

$\frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}=\frac{\left(1+i\sqrt{2}\right)\left(2-i\sqrt{3}\right)}{\left(2+i\sqrt{3}\right)\left(2-i\sqrt{3}\right)}$

$=\frac{2+\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)i-\sqrt{6}{i}^2}{4+3}$ $=\frac{2+\sqrt{6}}{7}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{7}i.$

c)

$\frac{5i}{2-3i}=\frac{5i\left(2+3i\right)}{\left(2-3i\right)\left(2+3i\right)}$ $=\frac{10i+15i^2}{4+9}=-\frac{15}{13}+\frac{10}{13}i.$

d)

$\frac{5-2i}{i}=\frac{\left(5-2i\right)i}{i^2}$ $=-\left(5i-2i^2\right)=-2-5i.$

Bài 2 trang 138 SGK Giải tích 12: Tìm nghịch đảo $\frac{1}{z}$ của số phức $z$, biết:

a) $z=1+2i$; 

b) $z=\sqrt{2}-3i$;

c) $z=i$;  

d) $z=5+i\sqrt{3}$.

Phương pháp giải:

Cho số phức $z=a+bi,(a,b\in R).$ Khi đó nghịch đảo của số phức $z$ là:

$\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)}$ $=\frac{a-bi}{a^2+b^2}.$

c) Nhân cả tử và mẫu với $i$ và sử dụng định nghĩa $i^2=-1$

Lời giải:

a)

$\frac{1}{1+2i}=\frac{1-2i}{1^2+2^2}$ $=\frac{1-2i}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i.$

b)

$\frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{(\sqrt{2}{)}^2+(-3{)}^2}$ $=\frac{\sqrt{2}+3i}{11}$ $=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$ 

c)

$\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i$

d)

$\frac{1}{5+i\sqrt{3}}=\frac{5-i\sqrt{3}}{5^2+(\sqrt{3}{)}^2}$ $=\frac{5-i\sqrt{3}}{28}$ $=\frac{5}{28}-\frac{\sqrt{3}}{28}i$

Bài 3 trang 138 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép tính sau:

a) $2i(3+i)(2+4i)$;   

b) $\frac{(1+i{)}^2(2i{)}^3}{-2+i}$

c) $3+2i+(6+i)(5+i)$;

d) $4-3i+\frac{5+4i}{3+6i}$. 

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nhân và chia các số phức để làm bài toán.

Một số công thức cơ bản:

$\begin{array}{l}+)i^2=-1.\\ +)i^3=-i.\\ +){\left(1+i\right)}^2=1+2i+i^2=2i.\end{array}$

Lời giải:

a)

$2i(3+i)(2+4i)=2i(6+14i+4i^2)=2i(2+14i)=4i+28i^2=-28+4i.$

b)

$=\frac{\left(1+2i+i^2\right).8i^3}{-2+i}$ $=\frac{2i.8i^3}{-2+i}$ $=\frac{16i^4}{-2+i}$ $=\frac{16}{-2+i}$ $=\frac{16\left(-2-i\right)}{\left(-2+i\right)\left(-2-i\right)}$ $=\frac{-32-16i}{5}$ $=-\frac{32}{5}-\frac{16}{5}i$

c)

$3+2i+(6+i)(5+i)=3+2i+30+11i+i^2=3+2i+29+11i=32+13i.$

d)

$4-3i+\frac{5+4i}{3+6i}=4-3i+\frac{(5+4i)(3-6i)}{3^2+6^2}=4-3i+\frac{15-18i-24i^2}{45}=4-3i+\frac{39}{45}-\frac{18}{45}i=(4+\frac{39}{45})-(3+\frac{18}{45})i=\frac{73}{15}-\frac{17}{5}i.$

Bài 4 trang 138 SGK Giải tích 12: Giải các phương trình sau:

a) $(3-2i)z+(4+5i)=7+3i$;

b) $(1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z$;

c) $\frac{z}{4-3i}+(2-3i)=5-2i$.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu.

+) Sử dụng công thức chia hai số phức.

Lời giải:

a)

Ta có $(3-2i)z+(4+5i)=7+3i\iff (3-2i)z=7+3i-4-5i$

$\iff (3-2i)z=3-2i\iff z=\frac{3-2i}{3-2i}\iff z=1$.

Vậy $z=1$.

b)

Ta có$(1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z\iff (1+3i)z-(2+i)z=(2+5i)$

$\iff (1+3i-2-i)z=2+5i\iff (-1+2i)z=2+5i$

$\iff z=\frac{2+5i}{-1+2i}\iff z=\frac{(2+5i)(-1-2i)}{1^2+2^2}\iff z=\frac{-2-4i-5i-10i^2}{5}\iff z=\frac{8-9i}{5}=\frac{8}{5}-\frac{9}{5}i$

Vậy $z=\frac{8}{5}-\frac{9}{5}i.$

c)

$\begin{array}{l}\frac{z}{4-3i}+2-3i=5-2i\\ \iff \frac{z}{4-3i}=5-2i-2+3i\\ \iff \frac{z}{4-3i}=3+i\\ \iff z=\left(3+i\right)\left(4-3i\right)\\ \iff z=12-5i-3i^2\\ \iff z=15-5i.\end{array}$

Vậy $z=15-5i.$

Lý thuyết Bài 3: Phép chia số phức

Kiến thức cơ bản

Cho hai số phức $c+di$ và $a+bi\ne 0$.

Khi đó $\frac{c+di}{a+bi}=\frac{(c+di)(a-bi)}{a^2+b^2}=\frac{ac+bd}{a^2+b^2}+\frac{ad-bc}{a^2+b^2}i$

(Nhân cả tử và mẫu với $a-bi$ (số phức liên hợp của mẫu)).

Chú ý: Với $z\ne 0$ ta có:

– Số phức nghịch đảo của $z$ là: $z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}.$

– Thương của $z^{\prime }$ chia cho $z$ là:

$\frac{z^{\prime }}{z}=z^{\prime }{z}^{-1}$ $=\frac{z^{\prime }\overline{z}}{|z{|}^2}=\frac{z^{\prime }\overline{z}}{z\overline{z}}$

Sơ đồ tư duy về số phức