Giải Toán 12 Bài 2: Mặt cầu - Trang Học trực tuyến

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Mặt cầu

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 43 SGK Hình học 12: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước.

Lời giải:

Do tâm mặt cầu cách đều hai điểm A, B nên tập hợp tâm cần tìm chính là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.

Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Trả lời câu hỏi 2 trang 45 SGK Hình học 12: a) Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (α) biết rằng khoảng cách từ tâm O đến (α) bằng $\frac{r}{2}$

b) Cho mặt cầu S(O; r), hai mặt phẳng (α) và (β) có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b (0 < a < b < r). Hãy so sánh hai bán kính của các đường tròn giao tuyến.

Phương pháp giải:

– Dựng hình, tính bán kính của từng đường tròn giao tuyến bằng cách áp dụng định lý Pi-ta-go.

– Từ đó kết luận cho từng câu a, b.

Lời giải:

Xét tam giác $O A H$ vuông tại $H$ có $O A = r, O H = \frac{r}{2}$ nên: $H A = \sqrt{O A^{2} - O H^{2}}$ $= \sqrt{r^{2} - \frac{r^{2}}{4}} = \frac{r \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy đường tròn giao tuyến có bán kính $\frac{r \sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác $O H A$ vuông tại $H$ có $H A = \sqrt{O A^{2} - O H^{2}}$ $= \sqrt{r^{2} - a^{2}}$

Xét tam giác $O K B$ vuông tại $K$ có $K B = \sqrt{O B^{2} - O K^{2}}$ $= \sqrt{r^{2} - b^{2}}$

Mà $0 < a < b < r$ nên $0 < r^{2} - b^{2} < r^{2} - a^{2}$ $\Rightarrow \sqrt{r^{2} - b^{2}} < \sqrt{r^{2} - a^{2}}$ hay $K B < H A$ .

Vậy đường tròn cắt bởi $(β)$ có bán kính nhỏ hơn bán kính đường tròn cắt bởi $(α)$ .

Trả lời câu hỏi 3 trang 48 SGK Hình học 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu:

a) Đi qua $8$ đỉnh của hình lập phương.

b) Tiếp xúc với $12$ cạnh của hình lập phương.

c) Tiếp xúc với $6$ mặt của hình lập phương.

Lời giải:

a) Tâm mặt cầu là giao điểm các đường chéo chính.

Bán kính mặt cầu là $O A = \frac{1}{2} A C^{'}$

Đường chéo hình vuông cạnh $a$ là $A C = a \sqrt{2}$

Xét tam giác vuông $A C C^{'}$ tại $C$ :

Ta có: $A C^{'} = \sqrt{A C^{2} + C^{'} C^{2}}$ $= \sqrt{{(a \sqrt{2})}^{2} + a^{2}} = a \sqrt{3}$

Do đó $A O = \frac{1}{2} A C^{'} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy bán kính mặt cầu đi qua $8$ đỉnh hình lập phương cạnh $a$ là $R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì ABCDA’B’C’D’ là hình lập phương nên các tứ giác: ABC’D’ , BCD’A’, CDA’B’, DAB’C’, AA’C’C, BB’D’D là các hình chữ nhật bằng nhau.

Xét hình chữ nhật ABC’D’ ta có:

O là trung điểm của AC’ và BD’ $\Rightarrow O A = O B = O C^{'} = O D^{'}$

$\Rightarrow Δ O A B = Δ O C^{'} D^{'} \Rightarrow d (O, A B) = d (O, C^{'} D^{'}) = \frac{B C^{'}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Tương tự ta cũng chứng minh được khoảng cách từ O đến các cạnh còn lại là $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Suy ra tồn tại mặt cầu tâm O, bán kính $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ tiếp xúc với 12 cạnh.

Vậy mặt cầu $(O, \frac{a \sqrt{2}}{2})$ tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương.

c) Tâm mặt cầu tiếp xúc $6$ mặt của hình lập phương là trung điểm $I$ của đường nối hai tâm đáy.

Bán kính mặt cầu là $r = \frac{1}{2} A A^{'}$ $= \frac{a}{2}$

Trả lời câu hỏi 4 trang 48 SGK Hình học 12: Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước. Hãy tính thể tích của hình lập phương đó.
Phương pháp giải:

Dựng hình, nhận xét cạnh hình lập phương và tính thể tích.

Lời giải:

Hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính $r$ có cạnh bằng $2 r$

Thể tích hình lập phương đó là: $V = (2 r)^{3} = 8 r^{3}$ .

Câu hỏi và bài tập (trang 49 SGK Hình học 12)
Bài 1 trang 49 SGK Hình học 12: Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng $A B$ cố định dưới một góc vuông.

Phương pháp giải:

+) Trong tam giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

+) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

Lời giải:

Gọi $O$ là trung điểm đoạn thẳng $A B$ , vì tam giác $A M B$ vuông tại $M$ nên trung tuyến $M O$ bằng nửa cạnh huyền, tức $M O = \frac{A B}{2} = R$ .

Vậy tập hợp các điểm $M$ nhìn $A B$ dưới một góc vuông nằm trên mặt cầu đường kính $A B$

Ngược lại, lấy $M$ thuốc mặt cầu đường kính $A B$ thì $M O = \frac{A B}{2}$ .

Do đó nếu $M$ khác $A$ và $B$ thì tam giác $M A B$ vuông tại $M$ , còn khi $M \equiv A$ hoặc $M \equiv B$ ta cũng coi $M$ nhìn $A B$ một góc vuông.

Kết luận: Tập hợp các điểm $M$ trong không gian nhìn đoạn thẳng $A B$ dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính $A B$ .

Bài 2 trang 49 SGK Hình học 12: Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng đính lý Pi-ta-go để tính các cạnh và tìm tâm, tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải:

Gọi $I = A C \cap B D$ .

Ta có ABCD là hình vuông cạnh $a$ nên ta có: $A C = B D = A B \sqrt{2} = a \sqrt{2} .$

$Δ A S C$ có $S A^{2} + S C^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = A C^{2}$ nên là tam giác vuông cân tại $S$ .

Tương tự tam giác SBD cũng vuông cân tại S.

$\Rightarrow \frac{1}{S I^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{S C^{2}}$ $= \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{2}{a^{2}} \Rightarrow S I = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

$\Rightarrow I A = I B = I C = I D = I S = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S A B C D$ có tâm $I$ và bán kính $R = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Cách khác:

Có thể tính IS như sau:

$I S = \sqrt{S A^{2} - A I^{2}}$ $= \sqrt{a^{2} - \frac{2 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Từ đó ta cũng kết luận được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính bằng $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Bài 3 trang 49 SGK Hình học 12: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước.
Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của mặt cầu để làm bài.

Lời giải:

Gọi O là tâm của mặt cầu chứa đường tròn (C) cố định cho trước.

⇒ O cách đều tất cả các điểm M thuộc đường tròn (C)

⇒ O nằm trên đường thẳng đi qua tâm của đường tròn (C) và vuông góc với mặt phẳng chứa (C).

Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.

Bài 4 trang 49 SGK Hình học 12: Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

Lời giải:

* Lấy một mặt cầu bất kì (S) thỏa mãn ycđb.

Giả sử (S) có tâm J, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh: $A B, B C, A C$ lần lượt tại $M, N v à P$ .

Gọi I là hình chiếu vuông góc của J lên mp $(A B C) \Rightarrow I J ⊥ (A B C)$ . Ta sẽ chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

* Ta có: ${\begin{cases} J M ⊥ A B \\ J I ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow I M ⊥ A B$ (định lí 3 đường vuông góc)

Chứng minh tương tự có: $I N ⊥ B C, I P ⊥ A C$ (1)

* Xét ba tam giác $J I M; J I N v à J I P$ có:

$\hat{J I M} = \hat{J I N} = \hat{J I P} = 90^{0}$

$J I$ chung

$J N = J M = J P = R$

⇒ $∆ J I M = ∆ J I N = ∆ J I P$ (ch- cgv)

⇒ $I N = I M = I P$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vậy J thuộc đường thẳng d qua I, vuông góc với mp (ABC)

* Ngược lại lấy điểm J bất kì thuộc d, ta chứng minh tồn tại mặt cầu tâm J tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác ABC.

Gọi $M, N v à P$ lần lượt là hình chiếu của I xuống 3 cạnh $A B, B C v à C A$

Ta có: ${\begin{cases} I M ⊥ A B \\ J I ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow J M ⊥ A B$

$J N ⊥ B C, J P ⊥ A C$ (1)

Mặt khác; $I M = I N = I P = r$ .

⇒ $∆ J I M = ∆ J I N = ∆ J I P$ (c-g-c)

⇒ $J M = J N = J P$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra, mặt cầu (S) tâm J, bán kính JM tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.

Vậy tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC và vuống góc với mp (ABC)

Bài 5 trang 49 SGK Hình học 12: Từ một điểm $M$ nằm nằm bên ngoài mặt cầu $S (O; r)$ ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại $A, B$ và $C, D$ .

a) Chứng minh rằng $M A . M B = M C . M D$ .

b) Gọi $M O = d$ . Tính $M A . M B$ theo $r$ và $d$ .

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh các tỉ lệ giữa các cạnh. Từ đó suy ra tích cần chứng minh.

+) Sử dụng định lý Pi-ta-go và tỉ lệ vừa chứng minh ở câu a để tính đại lượng cần tính.

Lời giải:

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $S (O; r)$ theo một đường tròn tâm $I$ , là hình chiếu vuông góc của $O$ lên mặt phẳng $(P)$ .

Xét hai tam giác $M A D$ và $M C B$ có:

+) $\hat{B} = \hat{D}$ (Hai góc cùng chắn một cung)

+) $\hat{M}$ chung

$\Rightarrow Δ M A D$ đồng dạng với $Δ M C B .$

$\Rightarrow \frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M B}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

$\Rightarrow M A . M B = M C . M D (d p c m)$

b) Đặt $M O = d$ , ta có $O I$ vuông góc với $(P)$ và ta có:

$O M^{2} = M I^{2} = O I^{2}; O A^{2} = O I^{2} + I A^{2}$

Hạ $I H$ vuông góc $A B$ , ta có $H$ là trung điểm của $A B$ .

Ta có $M A = M H - H A$ ; $M B = M H + H B = M H + H A$ .

$M A . M B = M H^{2} - H A^{2}$ $= (M H^{2} + H I^{2}) - (H A^{2} + I H^{2})$ $= M I^{2} - I A^{2}$ $= (M I^{2} + O I^{2}) - (I A^{2} + O I^{2})$ $= O M^{2} - O A^{2}$ $= d^{2} - r^{2}$

Vậy $M A . M B = d^{2} - r^{2}$ .

Bài 6 trang 49 SGK Hình học 12: Gọi mặt cầu $S (O; r)$ tiếp xúc với $(P)$ tại $I$ . Gọi $M$ là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với $I$ qua tâm $O$ . Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến cắt của mặt cầu cắt $(P)$ tại $A$ và $B$ . Chứng minh rằng $\hat{A M B} = \hat{A I B}$ .
Phương pháp giải:

+) Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

+) Chứng minh hai tam giác bằng nhau suy ra các góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải:

Do mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mp (P) tại I nên: OI ⊥ (P) ⇒ OI ⊥ IA

Suy ra, AI là tiếp tuyến của mặt cầu đã cho tại điểm I.

Theo tính chất của mặt cầu, ta có $A I$ và $A M$ là hai tiếp tuyến với cầu kẻ từ $A$ , cho nên $A I = A M$ , tương tự $B I = B M$

Hai tam giác $A B I$ và $A B M$ bằng nhau (c.c.c)

$\Rightarrow \hat{A M B} = \hat{A I B}$ (Hai góc tương ứng).

Bài 7 trang 49 SGK Hình học 12: Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A A^{'} = a, A B = b, A D = c$ .

a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng $(A B C D)$ với mặt cầu trên.

Phương pháp giải:

a) Xác định tâm và bán kính của hình hộp dựa vào tính chất các đường chéo của hình hộp thì bằng nhau

b) Đường tròn cần tìm là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $A B C D$ .

Lời giải:

a) Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo $A C^{'}, B D^{'}, C A^{'} v à D B^{'}$ cắt nhau tại điểm $I$ là trung điểm của mỗi đường.

Vì $4$ đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm $I$ cách đều $8$ đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Vì $A B = b, A D = c, A A^{'} = a$ nên bán kính mặt cầu $R = \frac{1}{2} A^{'} C$

$Δ A^{'} A C$ vuông tại A nên theo Pitago ta có: $A^{'} C^{2} = A^{'} A^{2} + A C^{2}$

$Δ A B C$ vuông tại B nên theo Pitago ta có: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ $= b^{2} + c^{2}$

Do đó

$\begin{array}{l} A^{'} C^{2} = A^{'} A^{2} + A C^{2} \\ = a^{2} + b^{2} + c^{2} \\ \Rightarrow A^{'} C = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\ \Rightarrow R = \frac{A^{'} C}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}{2} \end{array}$

b) Giao tuyến của mặt phẳng $(A B C D)$ với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $A B C D$ . Nên bán kính của đường trong giao tuyến là:

$r = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} \sqrt{b^{2} + c^{2}}$

Bài 8 trang 49 SGK Hình học 12: Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với $6$ cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.
Phương pháp giải:

Gọi các tiếp điểm và sử dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau của mặt cầu để chứng minh.

Lời giải:

Giả sử tứ diện $A B C D$ có mặt cầu tiếp xúc với cả $6$ cạnh của tứ diện; tiếp xúc với $A B, B C, C D, A D, A C, B D$ lần lượt tại $M, N, P, Q, R, S$ . Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau, nên ta có:

${\begin{matrix} A M = A R = A Q \\ B M = B N = B S \\ C N = C P = C R \\ D P = D Q = D S \end{matrix}$

Ta chứng minh: $A B + C D = A C + B D = A D + B C$ .

Ta có

$A M + M B + C P + P D$ $= A R + R C + B S + S D$

$= A Q + Q D + B N + N C$

Hay: $A B + C D = A C + B D = A D + B C$ .

Bài 9 trang 49 SGK Hình học 12: Cho một điểm $A$ cố định và một đường thẳng $a$ cố định không đi qua $A$ . Gọi $O$ là một điểm thay đổi trên $a$ . Chứng minh rằng các mặt cầu tâm $O$ và bán kính $r = O A$ luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Lời giải:

Xét mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A$ và $(P)$ vuông góc với đường thẳng $a$ . Goi giao của $(P)$ với $a$ là điểm $H$ .

Xét mặt cầu tâm $O$ bán kính $r = O A$ ; mặt cầu này giao với mặt phẳng $(P)$ theo đường tròn tâm $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $(P)$ và bán kính $H A$ cố định.

Bài 10 trang 49 SGK Hình học 12: Cho hình chóp $S . A B C$ có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, $S A = a, S B = b, S C = c$ và ba cạnh $S A, S B, S C$ đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó.
Phương pháp giải:

+) Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính $r$ là: $S = 4 π r^{2} .$

+) Công thức tính thể tích mặt cầu bán kính $r$ là: $V = \frac{4}{3} π r^{3} .$

Lời giải:

Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác $S . A B C$ . Hạ $I J$ vuông góc $(S A B)$ , vì $I$ cách đều $3$ điểm $S, A, B$ nên $J$ cũng cách đều $3$ điểm $S, A, B$ .

Vì tam giác $S A B$ vuông đỉnh $S$ nên $J$ là trung điểm của $A B$ .

Ta có $S J = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Do $S C$ vuông góc $(S A B)$ nên $I J / / S C$ .

Gọi $H$ là trung điểm $S C$ , ta có $S C = S I$ nên $I H ⊥ S C$ .

Xét tứ giác $S H I J$ ta có: $\hat{S H I} = 90^{0}$ do $I H ⊥ S C$ ;

$\hat{H S J} = 90^{0}$ do $S C ⊥ (S A B)$ chứa $S J$ ;

$\hat{I J S}$ do $I J ⊥ (S A B)$ chứa $S J$

Suy ra tứ giác $S H I J$ là hình chữ nhật.

$\to S H = I J = \frac{c}{2}$ .

Do vậy, $I S^{2} = I J^{2} + S J^{2} = \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}{4}$ và bán kính hình cầu ngoại tiếp $S . A B C$ là

$R = I S = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Diện tích mặt cầu là:

$S = 4 π R^{2} = π (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

Thể tích khối cầu là :
$V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{1}{6} π {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .
Cách khác tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC
Phương pháp:
Bước 1: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB (Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB) tại tâm đường tròn)
Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực của SC.
Bước 3. Tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là giao của trục và mặt phẳng trên
Giải chi tiết
Gọi $Δ$ là đường trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Khi đó $Δ$ đi qua trung điểm J của AB và vuông góc với (SAB). Ta lại có $S C ⊥ (S A B)$ .

$\Rightarrow Δ / / S C$

Do đó mọi điểm trên $Δ$ cách đều S,A,B. (Theo bài 3)

Dựng mặt phẳng trung trực của SC cắt $D e l t a$ tại I.

Khi đó ta có: $I S = I C$ .

$I \in Δ \Rightarrow I A = I S = I B$ . Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp S.ABC

Lý thuyết Bài 2: Mặt cầu

1. Định nghĩa

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm $O$ cố định một khoảng không đổi $r (r > 0)$ được gọi là một mặt cầu tâm $O$ bán kính $r$ .

Kí hiệu: $S (O; R) = {M | O M = R}$

* Cho mặt cầu $S (O; r)$ và điểm $A$ trong không gian.

– Nếu $O A = r$ thì điểm $A$ nằm trên mặt cầu

– Nếu $O A < r$ thì điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

– Nếu $O A > r$ thì điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu.

2. Tính chất

Nếu điểm $A$ ngoài mặt cầu $S (O; r)$ thì:

– Qua $A$ có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

– Độ dài các đoạn thẳng nối $A$ với các tiếp điểm đều bằng nhau.

– Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $O$ , bán kính $R$ và mặt phẳng $(P)$ , gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $(P)$ .

+ Nếu $O H < R$ thì $(S)$ cắt $(P)$ theo đường tròn tâm $H$ và bán kình $r = \sqrt{R^{2} - O H^{2}}$ .

+ Nếu $O H = R$ thì $(S)$ tiếp xúc $(P)$ tại tiếp điểm $H$ .

+ Nếu $O H > R$ thì $(S)$ và $(P)$ không có điểm chung.

Đặc biệt: Nếu $O H = 0 (O \equiv H)$ thì đường tròn giao tuyến của $(P)$ và $(S)$ được gọi là đường tròn lớn, $(P)$ được gọi là mặt phẳng kính.

4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $O$ , bán kính $R$ và đường thẳng $d$ , gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $d$ .

+ Nếu $O H < R$ thì $(S)$ cắt $d$ tại $2$ điểm phân biệt.

+ Nếu $O H = R$ thì $(S)$ cắt $d$ tại một điểm duy nhất $H$ . ( $d$ là tiếp tuyến với mặt cầu, $H$ là tiếp điểm)

+ Nếu $O H > R$ thì $(S)$ và $d$ không có điểm chung.

5. Tiếp tuyến với mặt cầu (Đọc thêm)

– Qua một điểm nằm trong mặt cầu không vẽ được tiếp tuyến nào với mặt cầu.

– Qua một điểm nằm trên mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu tại điểm đó. Tập hợp các tiếp tuyến chính là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu.

– Qua một điểm nằm ngoài mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tập hợp các tiếp điểm với mặt cầu là đường tròn nằm trên mặt cầu.

6. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Mặt cầu bán kính $r$ có diện tích là $S = 4 π r^{2}$ .
Khối cầu bán kính $r$ có thể tích là $V = \frac{4}{3} π r^{3}$
Sơ đồ tư duy về mặt cầu

Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp đa diện

1. Các khái niệm cơ bản

– Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện.

– Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu nó tiếp xúc với mọi mặt của đa diện.

– Trục đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.

+ Mọi điểm nằm trên trục đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đáy và ngược lại.

– Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn
thẳng đó.

+ Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng và ngược lại.

2. Mặt cầu nội, ngoại tiếp một số đa diện cơ bản

– Hình hộp chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp, hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp.

– Hình chóp nội tiếp được mặt cầu nếu và chỉ nếu đáy của nó là đa giác nội tiếp được đường tròn.

+ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông.

– Hình chóp đều:

Bán kính: $R = \frac{b^{2}}{2 h}$ với $b$ là độ dài cạnh bên,

$h$ là chiều cao hình chóp.

– Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:

Bán kính $R = \sqrt{r^{2} + \frac{h^{2}}{4}}$ với $r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao hình chóp.

Đặc biệt: tứ diện vuông: $R = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4}}$ với $a, b, c$ là ba cạnh bên xuất phát từ đỉnh các góc vuông.

– Lăng trụ nội tiếp được mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn.

Bán kính $R = \sqrt{r^{2} + \frac{h^{2}}{4}}$ với $r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao lăng trụ đứng.

3. Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính $R$ , khi đó:

– Công thức tính diện tích mặt cầu: $S = 4 π R^{2}$

– Công thức tính thể tích khối cầu: $V = \frac{4}{3} π R^{3}$

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy