Giải Toán 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Bài giảng Toán 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 15 SGK Hình học 12: Tìm ví dụ về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi trong thực tế.

Lời giải:

Khối đa diện lồi trong thực tế: kim tự tháp Ai Cập, viên kim cương, rubic

Khối đa diện không lồi trong thực tế: cái bàn

Trả lời câu hỏi 2 trang 16 SGK Hình học 12: Đếm số đỉnh, số cạnh của khối bát diện đều.

Lời giải:

Khối bát diện đều có 6 đỉnh và 12 cạnh.

Trả lời câu hỏi 3 trang 17 SGK Hình học 12: Chứng minh rằng tam giác $IEF,IFM,IMN,INE,JEF,JFM,JMN$ và $JNE$ là những tam giác đều cạnh bằng $\frac{a}{2}$

Lời giải:

$ABCD$ là tứ diện đều ⇒ tam giác $ABC$ đều $\Rightarrow AB=BC=CA=a$

$I,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC,AB,BC$ nên ta có $IE,IF,EF$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow IE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a\\ & \mathrm{I}\mathrm{F}=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a\\ & \mathrm{E}\mathrm{F}=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a\end{array}$

Nên tam giác $IEF$ là tam giác đều cạnh bằng $\frac{a}{2}$

Chứng minh tương tự ta có:$IFM,IMN,INE,JEF,JFM,JMN$ và $JNE$ là những tam giác đều cạnh bằng $\frac{a}{2}$

Trả lời câu hỏi 4 trang 18 SGK Hình học 12: Chứng minh rằng $A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo $a$.

Lời giải:

$ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình lập phương cạnh $a$ nên các mặt là các hình vuông cạnh $a$.

Tứ diện $A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ có các cạnh là các đường chéo của các mặt bên hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên tứ diện $A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ có các cạnh bằng nhau

$\Rightarrow A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ là tứ diện đều

Cạnh của tứ diện đều $A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ bằng độ dài đường chéo của hình vuông cạnh $a$ và bằng $a\sqrt{2}$.

Câu hỏi và bài tập (trang 18 SGK Hình học 12)
Bài 1 trang 18 SGK Hình học 12: Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.1.23), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.

Lời giải:

Bài 2 trang 18 SGK Hình học 12: Cho hình lập phương $(H)$. Gọi $(H^{\prime })$ là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của $(H)$. Tính tỉ số diện tích toàn phần của $(H)$ và $(H^{\prime })$.

Phương pháp giải:

+) Bát diện đều là khối đa diện gồm 8 mặt là 8 tam giác đều.

+) Diện tích toàn phần của hình bát diện đều = 8. diện tích 1 mặt.

Lời giải:

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng $a$. Khi đó diện tích toàn phần của nó là: $S_1=6a^2$

Gọi $M$ là tâm của hình vuông $ABCD$; $Q$ là tâm hình vuông $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$; $P$ là tâm hình vuông $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$; $N$ là tâm hình vuông $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$; $E$ là tâm hình vuông $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $F$ là tâm hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là $8$ lần diện tích tam giác đều $MQE$ (hình vẽ)

Xét tam giác $AC{D}^{\prime }$, ta có $M,Q$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $A{D}^{\prime }$ nên $MQ$ là đường trung bình của tam giác $AC{D}^{\prime }$, do đó $MQ=\frac{1}{2}C{\mathrm{D}}^{\prime }=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ 

Ta có $S_{MQE}=\frac{1}{2}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{8}$ 

Diện tích xung quanh của bát diện đều là: $S_2=8.\frac{\sqrt{3}{a}^2}{8}=a^2\sqrt{3}$

Do đó: $\frac{S_1}{S_2}=\frac{6{\mathrm{a}}^2}{a^2\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$

Bài 3 trang 18 SGK Hình học 12: Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác và định lý Ta-lét để làm bài toán.

Lời giải:

Gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác đều $BCD,ACD,ABD,ABC$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$:

Ta có: $\frac{M{D}^{\prime }}{MA}=\frac{M{A}^{\prime }}{MD}=\frac{1}{3}$ (tính chất đường trung tuyến).

$\Rightarrow A^{\prime }{D}^{\prime }//A\mathrm{D}$  (định lý Ta-lét).

và $A^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{1}{3}AD=\frac{a}{3}$ 

Tương tự $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }=C^{\prime }{A}^{\prime }=B^{\prime }{D}^{\prime }=C^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{a}{3}$ 

Vậy $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là tứ diện đều.

Bài 4 trang 18 SGK Hình học 12: Cho hình bát diện đều $ABCDEF$ 

Chứng minh rằng :

a) Các đoạn thẳng $AF,BD$ và $CE$ đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) $ABFD,AEFC$ và $BCDE$ là những hình vuông.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.

+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Lời giải:

a) Do $B,C,D,E$ cách đều $A$ và $F$ nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của $AF$).

Tương tự, $A,B,F,D$ đồng phẳng và $A,C,F,E$ đồng phẳng.

Gọi $I$ là giao của $(AF)$ với $(BCDE)$. Khi đó $B,I,D$ là những điểm chung của hai mặt phẳng $(BCDE)$ và $(ABFD)$ nên chúng thẳng hàng. Tương tự, $E,I,C$ thẳng hàng.

Vậy $AF,BD,CE$ đồng quy tại $I$.

Vì $BCDE$ là hình thoi nên $EC$ vuông góc với $BC$ và cắt $BC$ tại $I$ là trung điểm của mỗi đường. $I$ là trung điểm của $AF$ và $AF$ vuông góc với $BD$ và $EC$, do đó các đoạn thẳng $AF,BD$, và $CE$ đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.

Cách khác:

Giả sử bát diện đều $ABCDEF$ có cạnh bằng $a.$

$B,C,D,E$ cách đều $A$ và $F$ suy ra $B,C,D,E$ cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AF$

Trong mp $(BCDE)$, ta có $BC=CD=DE=EB(=a)$

$\Rightarrow BCDE$ là hình thoi

$\Rightarrow BD\perp EC$ và $BD,EC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Chứng minh tương tự ta suy ra $AF$ và $BD,AF$ và $CE$ vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) Ta có tứ giác $DCBE$ là hình thoi.

Do $AI$ vuông góc $(BCDE)$ và $AB=AC=AD=AE$ nên $IB=IC=ID=IE$.

Từ đó suy ra hình thoi $BCDE$ là hình vuông. Tương tự $ABFD,AEFC$ là những hình vuông.

Cách khác:

Gọi trung điểm $BD,CE,AFlàO$.

$\begin{array}{l}BO\mathrm{\perp }AO\Rightarrow AB=\sqrt{A{O}^2+B{O}^2}\\ AO\mathrm{\perp }OE\Rightarrow AE=\sqrt{A{O}^2+O{E}^2}\end{array}$

Mà $AB=AE(=a)\Rightarrow BO=OE\Rightarrow BD=EC$

⇒ Hình thoi $BCDE$ là hình vuông.

Chứng minh tương tự: $ABFD,AEFC$ đều là hình vuông.

Lý thuyết Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

1. Khối đa diện lồi

Khối đa diện $(H)$ được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của $(H)$ luôn thuộc $(H)$. Khi đó đa diện giới hạn $(H)$ được gọi là đa diện lồi.

Cách định nghĩa khác: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

2. Khối đa diện đều

Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại $\left\{p,q\right\}$ nếu:

a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều $p$ cạnh.

b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng $q$ mặt.

Nhận xét

+) Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.

+) Có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều loại $\left\{3,3\right\}$, loại $\left\{4,3\right\}$, loại $\left\{3,4\right\}$, loại $\left\{5,3\right\}$, và loại $\left\{3,5\right\}$.

Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.

Khối đa diện đều loại $\left\{n;p\right\}$ có $\text{Đ}$ đỉnh, $C$ cạnh và $M$ mặt thì: $p\text{Đ}=2C=nM$

– Khi trải phẳng các khối đa diện đều trên ta sẽ được các hình vẽ sau:

– Định lý Ơ-le: Mọi khối đa diện lồi đều có $D-C+M=2$, ở đó $D,C,M$ lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của khối đa diện.

Sơ đồ tư duy về Khối đa diện lồi và khối đa diện đều