Giải Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 134 SGK Giải tích 12: Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi $i$ là biến), hãy tính:

$(3 + 2 i) + (5 + 8 i)$ ;

$(7 + 5 i) - (4 + 3 i)$ ;

Lời giải:

$(3 + 2 i) + (5 + 8 i) = (3 + 5) + (2 + 8) i = 8 + 10 i .$

$(7 + 5 i) - (4 + 3 i) = (7 - 4) + (5 - 3) i = 3 + 2 i .$

Trả lời câu hỏi 2 trang 135 SGK Giải tích 12: Theo quy tắc nhân đa thức với chú ý $i^{2} = - 1$ , hãy tính $(3 + 2 i) (2 + 3 i) .$

Lời giải:

$(3 + 2 i) (2 + 3 i)$ $= 3.2 + 3.3 i + 2 i .2 + 2 i .3 i$ $= 6 + 9 i + 4 i - 6 = 13 i .$

Trả lời câu hỏi 3 trang 135 SGK Giải tích 12: Hãy nêu các tính chất của phép cộng và phép nhân số phức.

Phương pháp giải:

Phép cộng và nhân số phức có đầy đủ tính chất của phép cộng, nhân số thực.

Lời giải:

* Các tính chất của phép cộng:

– Giao hoán: $z + z^{'} = z^{'} + z$

– Kết hợp: $z_{1} + (z_{2} + z_{3})$ $= (z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + z_{2} + z_{3}$

* Các tính chất của phép nhân:

– Giao hoán: $z . z^{'} = z^{'} . z$

– Kết hợp: $z_{1} . (z_{2} . z_{3})$ $= (z_{1} . z_{2}) . z_{3} = z_{1} . z_{2} . z_{3}$

* Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng: $z_{1} (z_{2} + z_{3}) = z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3}$

Câu hỏi và bài tập (trang 135, 136 SGK Giải tích 12)
Bài 1 trang 135 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép tính sau:

a) $(3 - 5 i) + (2 + 4 i)$ ;

b) $(- 2 - 3 i) + (- 1 - 7 i)$ ;

c) $(4 + 3 i) - (5 - 7 i)$ ;

d) $(2 - 3 i) - (5 - 4 i)$ .

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l} (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i \\ (a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i \end{array}$

Lời giải:

$(3 - 5 i) + (2 + 4 i)$ $= (3 + 2) + (- 5 i + 4 i) = 5 - i$

$(- 2 - 3 i) + (- 1 - 7 i)$ $= (- 2 - 1) + (- 3 i - 7 i) = - 3 - 10 i$

$(4 + 3 i) - (5 - 7 i)$ $= (4 - 5) + (3 i + 7 i) = - 1 + 10 i$

$(2 - 3 i) - (5 - 4 i)$ $= (2 - 5) + (- 3 i + 4 i) = - 3 + i$

Bài 2 trang 136 SGK Giải tích 12: Tính $α + β, α - β$ , biết:

a) $α = 3, β = 2 i$

b) $α = 1 - 2 i, β = 6 i$ .

c) $α = 5 i, β = - 7 i$

d) $α = 15, β = 4 - 2 i$

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l} (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i \\ (a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i \end{array}$

Lời giải:

$α + β = 3 + 2 i$ , $α - β = 3 - 2 i$

$α + β = 1 - 2 i + 6 i = 1 + 4 i$

$α - β = 1 - 2 i - 6 i = 1 - 8 i$

$α + β = 5 i + (- 7 i) = - 2 i$

$α - β = 5 i - (- 7 i) = 12 i$

$α + β = 15 + 4 - 2 i = 19 - 2 i$

$α - β = 15 - (4 - 2 i) = 11 + 2 i$

Bài 3 trang 136 SGK Giải tích 12: Thực hiện các phép tính sau:

a) $(3 - 2 i) (2 - 3 i)$ ;

b) $(- 1 + i) (3 + 7 i)$ ;

c) $5 (4 + 3 i)$

d) $(- 2 - 5 i) .4 i$

Phương pháp giải:

$(a + b i) . (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$

Lời giải:

$(3 - 2 i) (2 - 3 i) = 3.2 - 2 i .2 - 3.3 i + 2 i .3 i = 6 - 4 i - 9 i + 6 i^{2} = 6 - 13 i - 6 = - 13 i$

$(- 1 + i) (3 + 7 i) = - 1.3 + 3 i - 1.7 i + 7 i^{2} = - 3 + 3 i - 7 i - 7 = (- 3 - 7) + (3 - 7) i = - 10 - 4 i$

$5 (4 + 3 i) = 5.4 + 5.3 i = 20 + 15 i$

$(- 2 - 5 i) .4 i = - 2.4 i - 5 i .4 i$ $= - 8 i - 20 i^{2} = - 8 i + 20$

Bài 4 trang 136 SGK Giải tích 12: Tính $i^{3}, i^{4}, i^{5}$ .

Nêu cách tính $i^{n}$ với $n$ là một số tự nhiên tuỳ ý.

Phương pháp giải:

Phân tích $i^{3} = i^{2} . i; i^{4} = i^{3} . i; i^{5} = i^{4} . i$ , sử dụng quy ước $i^{2} = - 1$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} i^{3} = i^{2} . i = - 1. i = - i \\ i^{4} = i^{3} . i = - i . i = - i^{2} = 1 \\ i^{5} = i^{4} . i = 1. i = i \end{array}$ .

Ta có:

Với $n = 4 k$ thì $i^{n} = i^{4 k} = {(i^{4})}^{k} = 1^{k} = 1$

Với $n = 4 k + 1$ thì $i^{n} = i^{4 k + 1} = i^{4 k} . i = 1. i = i$

Với $n = 4 k + 2$ thì $i^{4 k + 2} = i^{4 k} . i^{2} = 1. (- 1) = - 1$

Với $n = 4 k + 3$ thì $i^{4 k + 3} = i^{4 k} . i^{3} = 1. (- i) = - i$

Vậy $i^{4 k} = 1,$ $i^{4 k + 1} = i,$ $i^{4 k + 2} = - 1,$ $i^{4 k + 3} = - i$ .

Bài 5 trang 136 SGK Giải tích 12: Tính:

a) $(2 + 3 i)^{2}$ ;

b) $(2 + 3 i)^{3}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các hằng đẳng thức:

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} \\ {(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} \end{array}$

với lưu ý rằng $i^{2} = - 1$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} {(2 + 3 i)}^{2} \\ = 2^{2} + 2.2.3 i + {(3 i)}^{2} \\ = 4 + 12 i + 9 i^{2} \\ = 4 + 12 i - 9 \\ = - 5 + 12 i \end{array}$

$\begin{array}{l} {(2 + 3 i)}^{3} \\ = 2^{3} + {3.2}^{2} .3 i + 3.2. {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3} \\ = 8 + 36 i + 54 i^{2} + 27 i^{3} \\ = 8 + 36 i + 54. (- 1) + 27. (- i) \\ = 8 + 36 i - 54 - 27 i \\ = - 46 + 9 i \end{array}$

Lý thuyết Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Kiến thức cơ bản

$(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$ ;

$(a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i$ ;

$(a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ .

Nhận xét

– Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý $i^{2} = - 1$ .

– Với mọi $z, z^{'} \in C$ , ta có:

$z + \bar{z} = 2 a$ (với $z = a + b i$ )

$\bar{z + z^{'}}$ = $\bar{z} + \bar{z^{'}}$

$z . \bar{z} = {| z |}^{2} = {| \bar{z} |}^{2}$

$\bar{z z^{'}} = \bar{z} . {\bar{z}}^{'}$

$| z z^{'} | = | z | . | z^{'} |$

$| z + z^{'} | \leq | z | + | z^{'} |$ .

Sơ đồ tư duy về số phức

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy