Giải Toán 12 Bài 1: Số phức

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 1: Số phức

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 130 SGK Giải tích 12: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: $–3+5i; 4–i\sqrt{2}; 0+\mathrm{\pi i}; 1+0\mathrm{i}$

Phương pháp giải:

Số phức $z=a+bi$ có phần thực là $a$ và phần ảo là $b$.

Lời giải:

Số phức	Phần thực	Phần ảo
$-3+5i$	$-3$	$5$
$4-i\sqrt{2}$	$4$	$-\sqrt{2}$
$0+\pi i$	$0$	$\pi$
$1+0i$	$1$	$0$

Trả lời câu hỏi 2 trang 131 SGK Giải tích 12: Viết số phức z có phần thực $\frac{1}{2}$, phần ảo bằng $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Phương pháp giải:

Số phức có phần thực $a$ và phần ảo $b$ được viết là $z=a+bi$.

Lời giải:

Số phức đó là: $z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Trả lời câu hỏi 3 trang 132 SGK Giải tích 12: a) Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau: $3–2i,-4i,3$

b) Các điểm biểu diễn số thực, số thuần ảo nằm ở đâu trên mặt phẳng tọa độ ?

Phương pháp giải:

Điểm $M(a;b)$ biểu diễn số phức $z=a+bi$.

Lời giải:

Điểm biểu diễn số phức $z=3-2i$ là $A(3;-2)$.

Điểm biểu diễn số phức $z=-4i$ là $B(0;-4)$.

Điểm biểu diễn số phức $z=3$ là $C(3;0)$.

b)

Các điểm biểu diễn số thực nằm trên $Ox$, các điểm biểu diễn số ảo nằm trên $Oy$

Trả lời câu hỏi 4 trang 132 SGK Giải tích 12: Số phức nào có môđun bằng 0?

Lời giải:

Số phức là môđun bằng $0$ là $z=0+0i.$

Trả lời câu hỏi 5 trang 132 SGK Giải tích 12: Biểu diễn các cặp số phức sau trên mặt phẳng tọa độ và nêu nhận xét:

a) $2+3i$ và $2–3i$;

b) $-2+3i$ và $-2–3i$.

Lời giải:

a)

Hai điểm đối xứng nhau qua $Ox.$

b)

Hai điểm đối xứng nhau qua $Ox.$

Trả lời câu hỏi 6 trang 133 SGK Giải tích 12: Cho $z=3–2i$.

a) Hãy tính $\overline{z};\overline{\overline{z}}$. Nêu nhận xét.

b) Tính $|z|;|\overline{z}|$. Nêu nhận xét.

Phương pháp giải:

a) Số phức $z=a+bi$ có số phức liên hợp là $z=a-bi$.

b) Số phức $z=a+bi$ có mô đun $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Lời giải:

a)

$\overline{z}=3+2i;\overline{\overline{z}}=3-2i$

Vậy $\overline{\overline{z}}=z$

b)

$|z|=\sqrt{3^2+{(-2)}^2}=\sqrt{13}$

$|\overline{z}|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$

Vậy $\left|z\right|=\left|\overline{z}\right|$

Câu hỏi và bài tập (trang 133, 134 SGK Giải tích 12)

Bài 1 trang 133 SGK Giải tích 12: Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z$, biết:

a) $z=1-\pi i$; 

b) $z=\sqrt{2}-i$;

c) $z=2\sqrt{2}$; 

d) $z=-7i$. 

Phương pháp giải:

Cho số phức $z=a+bi$ với $a,b\in R.$

Ta có $a$ được gọi là phần thực của số phức $z$ và  $b$ được gọi là phần ảo của số phức $z.$

Lời giải:

a)

$z=1-\pi i=1+\left(-\pi \right).i$

Phần thực: $1$, phần ảo $-\pi$;        

b)

$z=\sqrt{2}-i=\sqrt{2}+\left(-1\right).i$

Phần thực: $\sqrt{2}$, phần ảo $-1$;            

c)

$z=2\sqrt{2}=2\sqrt{2}+0.i$

Phần thực $2\sqrt{2}$, phần ảo $0$;          

d)

$z=-7i=0+\left(-7\right)i$

Phần thực $0$, phần ảo $-7$.

Bài 2 trang 133 SGK Giải tích 12: Tìm các số thực $x$ và $y$, biết:

a) $(3x-2)+(2y+1)i=(x+1)-(y-5)i$

b) $(1-2x)-i\sqrt{3}=\sqrt{5}+(1-3y)i$

c) $(2x+y)+(2y-x)i$ $=(x-2y+3)+(y+2x+1)i$

Phương pháp giải:

Cho hai số phức: $z_1=a_1+b_{1}i$ và $z_2=a_2+b_{2}i.$ 

Khi đó: $z_1=z_2\iff \{\begin{array}{l}{a}_1=a_2\\ b_1=b_2\end{array}.$

Lời giải:

a)

Từ định nghĩa bằng nhau của hai số phức, ta có:

$(3x-2)+(2y+1)i=(x+1)-(y-5)i$  $\iff \{\begin{array}{c}3x-2=x+1\\ 2y+1=-(y-5)\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2x=3\\ 3y=4\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{4}{3}\end{array}.$

Vậy $\left(x;y\right)=\left(\frac{3}{2};\frac{4}{3}\right).$

b)

Từ định nghĩa bằng nhau của hai số phức, ta có:

$(1-2x)-i\sqrt{3}=\sqrt{5}+(1-3y)i$

$\iff \{\begin{array}{c}1-2x=\sqrt{5}\\ 1-3y=-\sqrt{3}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2x=1-\sqrt{5}\\ 3y=1+\sqrt{3}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ y=\frac{1+\sqrt{3}}{3}\end{array}.$

Vậy $\left(x;y\right)=\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{3}}{3}\right).$

c)

Từ định nghĩa bằng nhau của hai số phức, ta có:

$(2x+y)+(2y-x)i=(x-2y+3)+(y+2x+1)i$

$\iff \{\begin{array}{c}2x+y=x-2y+3\\ 2y-x=y+2x+1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x+3y=3\\ -3x+y=1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=0\\ y=1\end{array}$.

Vậy $\left(x;y\right)=\left(0;1\right).$

Bài 3 trang 134 SGK Giải tích 12: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

a) Phần thực của $z$ bằng $-2$;

b) Phần ảo của $z$ bằng $3$;

c) Phần thực của $z$ thuộc khoảng $(-1;2)$;

d) Phần ảo của $z$ thuộc đoạn $[1;3]$;

e) Phần thực và phần ảo của $z$ đều thuộc đoạn $[-2;2]$.

Phương pháp giải:

Cho số phức $z=x+yi,(x,y\in R).$ Khi đó trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, điểm $M(x;y)$ là điểm biểu diễn hình học của số phức $z.$

Lời giải:

a)

Giả sử $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), khi đó trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$.

Phần thực của $z$ bằng $-2$, tức là $x=-2,y\in R$.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $x=-2$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ 

b)

Giả sử $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), khi đó trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$.

Phần ảo của số phức $z$ bằng $3$ nên $x\in R$ và $y=3.$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $y=3$ trên mặt phẳng $Oxy$.

c)

Giả sử $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), khi đó trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$.

Ta có $x\in (-1;2)$ và $y\in \mathbb{R}$.

Vậy tập hợp số phức $z$ cần tìm là các điểm nằm giữa hai đường thẳng $x=-1$ và $x=2$ trên mặt phẳng $Oxy$ 

d)

Giả sử $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), khi đó trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$.

Ta có $x\in \mathbb{R}$ và $y\in [1;3]$

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường thẳng $y=1$ và $y=3$ (kể cả các điểm trên hai đường đó). 

e)

Giả sử $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), khi đó trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$.

Ta có $x\in [-2;2]$ và $y\in [-2;2]$

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần mặt phẳng thuộc hình vuông (kể cả cạnh) được giới hạn bởi bốn đường thẳng $x=2;x=-2;y=2;y=-2$.

Bài 4 trang 134 SGK Giải tích 12: Tính $|z|$ với:

a) $z=-2+i\sqrt{3}$;

b) $z=\sqrt{2}-3i$;

c) $z=-5$;   

d) $z=i\sqrt{3}$.

Phương pháp giải:

Cho số phức $z=x+yi,(x,y\in R).$ Khi đó modun của số phức $z$ được tính bởi công thức: $\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Lời giải:

a)

$\left|z\right|=\sqrt{{(-2)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{7}$

b)

$\left|z\right|=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{(-3)}^2}=\sqrt{11};$

c)

$\left|z\right|=\sqrt{(-5{)}^2}=5$; 

d)

$\left|z\right|=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{3}$

Bài 5 trang 134 SGK Giải tích 12: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thoả mãn điều kiện:

a) $|z|=1$; 

b) $|z|\le 1$;

c) $1<|z|\le 2$;   

d) $|z|=1$ và phần ảo của $z$ bằng $1$.

Phương pháp giải:

+) Giả sử $z=x+yi,(x,y\in \mathbb{R})$, khi đó trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$.

+) $\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}.$

+) Phương trình đường thẳng có dạng: $ax+by+c=0.$

+) Phương trình đường tròn có dạng: ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2.$

Lời giải:

a)

Ta có $|z|=1$ $\iff \sqrt{x^2+y^2}=1\iff x^2+y^2=1$.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $O$, bán kính bằng $1.$

b)

Ta có $|z|\le 1$ $\iff \sqrt{x^2+y^2}\le 1\iff x^2+y^2\le 1$.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là hình tròn tâm $O$, bán kính bằng $1$ (kể cả các điểm trên đường tròn).

c)

Ta có $1<|z|\le 2$ $\iff 1<\sqrt{x^2+y^2}\le 2$ $\iff 1<x^2+y^2\le 4$.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là phần nằm giữa đường tròn tâm $O$, bán kính bằng $1$ (không kể điểm trên đường tròn này) và đường tròn tâm $O$, bán kính bằng $2$ (kể cả các điểm trên đường tròn này).

d)

Ta có $|z|=1$ $\iff \sqrt{x^2+y^2}=1$ $\iff x^2+y^2=1$ và phần ảo của $z$ bằng $1$ tức $y=1$. Suy ra $x=0$ và $y=1.$

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là điểm $A(0;1)$.

Bài 6 trang 134 SGK Giải tích 12: Tìm $\overline{z}$, biết:

a) $z=1-i\sqrt{2}$; 

b) $z=-\sqrt{2}+i\sqrt{3}$.

c) $z=5$;  

d) $z=7i$. 

Phương pháp giải:

Cho số phức $z=a+bi,(a,b\in R).$ Khi đó số phức liên hợp của $z$ là: $\overline{z}=a-bi.$

Lời giải:

a)

$\overline{z}=1+i\sqrt{2}$;              

b)

$\overline{z}=-\sqrt{2}-i\sqrt{3}$;            

c)

 $\overline{z}=5$;                           

d)

$\overline{z}=-7i$.

Lý thuyết Bài 1: Số phức

Kiến thức cơ bản

– Số phức $z=a+bi$ có phần thực là $a$, phần ảo là $b$ ($a,b\in \mathbb{R}$ và $i^2=-1$)

– Số phức bằng nhau $a+bi=c+di\iff a=c$ và $b=d$

– Số phức $z=a+bi$ được biểu diễn bởi điểm $M(a;b)$ trên mặt phẳng toạ độ.

– Độ dài của $\overrightarrow{OM}$ là môđun của số phức z, kí hiệu là $|z|=\overrightarrow{OM}=\sqrt{a^2+b^2}$

– Số phức liên hợp của $z=a+bi$ và $\overline{z}=a-bi$.

Chú ý

– Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng $0$. Ta có $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.

– Số phức $bi$ ($b\in \mathbb{R}$) là số thuần ảo (phần thực bằng $0$)

– Số $i$ được gọi là đơn vị ảo.

– Số phức viết dưới dạng $z=a+bi$ ($a,b\in R$), gọi là dạng đại số của số phức.

– Ta có: $|\overline{z}|=|z|$

            $z=\overline{z}\iff z$ là số thực.

            $z=-\overline{z}\iff z$ là số ảo.

Sơ đồ tư duy về số phức