Chuyên đề tích phân luyện thi THPT quốc gia

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

 CHỦ ĐỀ 2. TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn $\left[a,b\right]$. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên $\left[a,b\right]$ Hiệu số
$F\left(b\right)–F\left(a\right)$ được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn $\left[a,b\right]$ của hàm số
$f\left(x\right)$ kí hiệu là ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$.
Ta dùng kí hiệu ${F^{\left(}}_a=F\left(b\right)–F\left(a\right)$ để chỉ hiệu số $F\left(b\right)–F\left(a\right)$ Vậy ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={F_{\left(}}^b=F\left(b\right)–F\left(a\right)$
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ hay ${\int }_a^{b}f\left(t\right)dt$. Tích phân đó
chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn $\left[a,b\right]$ thì tích phân
${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ , trục Ox và hai đường
thẳng $x=a; x=b$ . Vậy $S={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$
2. Tính chất của tích phân

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Một số phương pháp tính tích phân
I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:

Hướng dẫn giải
a) $I={\int }_0^1\frac{d\left(x\right)}{{(1+x)}^3}={\int }_0^1\frac{d(1+x)}{{(1+x)}^3}={{–}^{\frac{1}{2{(1+x)}^2}}}_0=\frac{3}{8}$

b) $I={\int }_0^1\frac{x}{x+1}d\left(x\right)={\int }_0^1(1–\frac{1}{x+1})d\left(x\right)={{(}^x}_0=1–\ln \left(2\right)$

c) $I={\int }_0^1\frac{2x+9}{x+3}d\left(x\right)={\int }_0^1(2+\frac{3}{x+3})d\left(x\right)={{(}^2}_0=3+6\ln \left(2\right)–3\ln \left(3\right)$ 

d) $I={\int }_0^1\frac{x}{4–x^2}d\left(x\right)=–\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{d(4–x^2)}{4–x^2}={{\ln }^{\left|4–x^2\right|}}_0=\ln \left(\frac{3}{4}\right)$

Bài tập áp dụng

Xem thêm