50 Bài tập Phương trình bậc hai với hệ số thực (có đáp án)- Toán 12

Bài tập Toán 12 Chương 4 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

A. Bài tập Phương trình bậc hai với hệ số thực

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Phương trình z² + 4x + 5 = 0 có các nghiệm là

A. 2 ± i   

B. -2 ± i   

C. 4 ± i   

D. -4 ± i

Lời giải:

Ta có: Δ’ = 2² – 1.5 = -1 = i2. Phương trình có hai nghiệm là:

Bài 2: Phương trình z² + 8z + 17 = 0 có hai nghiệm

A. 1 – i và 1 – 2i    

B. 4 – i và 4 + i

C. -4 – i và -4 + i    

D. -2 + 2i và -2 + 4i

Lời giải:

Ta có: Δ = 16 – 17 = -1 = i². Phương trình có các nghiệm là:

z₁ = -4 – i, z₂ = -4 + i

Bài 3: Phương trình z² – 4z + 9 = 0 có hai nghiệm. Giá trị biểu thức T = |z₁| + |z₂| bằng

A. – 6   

B. 6   

C. 8   

D. 2$\sqrt{3}$

Lời giải:

Ta có: Δ’ = 4 – 9 = -5 = 5i². Phương trình có hai nghiệm là:

z_1,2 = 2 ± i$\sqrt{5}$

Vậy T = 2$\sqrt{\left(4+5\right)}$ = 2$\sqrt{9}$ = 6

Bài 4: Phương trình z⁴ + 3z² – 4 = 0 có 4 nghiệm phức z₁, z₂, z₃, z₄. Giá trị biểu thức T = |z₁| + |z₂| + |z₃| + |z₄| bằng

A. 6    

B. 2$\sqrt{2}$   

C. 2 + 2$\sqrt{2}$  

D. 4 + 2$\sqrt{2}$

Lời giải:

Ta có

⇒ |z₁| = |z₂| = 1; |z₃| = |z₄| = 2

Vậy T = 1 + 1 + 2 + 2 = 6

Bài 5: Số phức z thỏa mãn

Giá trị biểu thức

A. 1    

B. 2   

C. 3    

D. 3672

Lời giải:

Ta có: z + $\frac{1}{z}$ = $\sqrt{3}$ <=> z₂ – $\sqrt{3}$z + 1 = 0 (1)

Xét phương trình (1): Ta có: Δ = ($\sqrt{3}$)² – 4.1.1 = -1 = i²

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

Do đó

Ta có:

 

Vậy T = 1 + 1 = 2

Bài 6: Phương trình z² -az + b = 0 (a, b ∈ R) có nghiệm z = 1 + i khi

A. a = 2, b = -2    

B. a = 2, b = 2    

C. a = -2, b = 2   

D. a = -2, b = -2

Lời giải:

Thay z = 1 + i vào phương trình đã cho ta có:

Chọn đáp án B.

Bài 7: Phương trình 2z² + 4z + 5 = 0 có các nghiệm là

Lời giải:

Ta có: Δ’ = 4 – 10 = -6 = 6i²

Phương trình đã cho có các nghiệm là

Chọn đáp án C.

Bài 8: Phương trình z² – z + 1 = 0 có hai nghiệm là

Lời giải:

Ta có: Δ = 1² – 4 = -3 = 3i²

Các nghiệm của phương trình đã cho là

Chọn đáp án A.

Bài 9: Để phương trình z² + bz + c = 0 nhận z₁ = -4 + 2i và z₂ = -4 – 2i làm nghiệm thì

A. b = -8, c = 20   

B. b = -8, c = -20

C. b = 8, c = 20    

D. b = 8, c = 20

Lời giải:

Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Để phương trình đã cho nhận z₁, z₂ làm nghiệm thì

Chọn đáp án D.

Bài 10: Phương trình z² + 6z + 15 = 0 có các nghiệm là z₁, z₂. Giá trị biểu thức T = |z₁| + |z₂| bằng:

A. 2$\sqrt{15}$   

B. 6   

C. 4$\sqrt{5}$   

D. 2$\sqrt{3}$

Lời giải:

Ta có:Δ’ = 9 – 15 = -6 = 6i²

Các nghiệm của phương trình là z₁ = – 3 – i$\sqrt{6}$, z₂ = – 3 + i$\sqrt{6}$

Do đó

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Phương trình z₁ = 1 + 2i, z₂ = 2 – 3i có nghiệm là z = 2 + i khi

A. a = 1, b = 4   

B. a = -1, b = 4   

C. a = -1, b = -4    

D. a = 1, b = -4

Lời giải:

Thay z = 2 + i vào phương trình đã cho ta có:

Bài 2: Phương trình (1 + i)² = -7 + i có các nghiệm là?

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

Viết -3 + 4i = 4i² + 4i + 1 = (2i + 1)², ta có: z² = (2i + 1)² <=> z = ±(2i + 1)

Chú ý: Nếu việc viết -3 + 4i = (2i + 1)² gặp khó khăn thì có thể đặt z = a + bi (a, b ∈ R). Ta có :

(a + bi)² = -3 + 4i <=> a² – b² + 2abi = -3 + 4i

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có b = $\frac{2}{a}$

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có

Vì a ∈ R và a² ≥ 0 nên a² = 1 hay a = ±1. Từ đó ta có hai nghiệm : z₁ = -1 – 2i và z₂ = 1 + 2i

Câu 3: Phương trình z² -az + b = 0 (a, b ∈ R) có nghiệm z = 1 + i khi

Lời giải:

Thay z = 1 + i vào phương trình đã cho ta có:

Câu 4: Phương trình 2z² + 4z + 5 = 0 có các nghiệm là?

Lời giải:

Ta có: Δ’ = 4 – 10 = -6 = 6i²

Phương trình đã cho có các nghiệm là

Chọn đáp án C.

Câu 5: Phương trình z² – z + 1 = 0 có hai nghiệm là?

Lời giải:

Ta có: Δ = 1² – 4 = -3 = 3i²

Các nghiệm của phương trình đã cho là

Câu 6: Để phương trình z² + bz + c = 0 nhận z₁ = -4 + 2i và z₂ = -4 – 2i làm nghiệm thì?

Lời giải:

Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Để phương trình đã cho nhận z₁, z₂ làm nghiệm thì

Câu 7: Phương trình z² + 6z + 15 = 0 có các nghiệm là z₁, z₂.Giá trị biểu thức T = |z1| + |z2| bằng?

Lời giải:

Ta có:Δ’ = 9 – 15 = -6 = 6i²

Các nghiệm của phương trình là z₁ = – 3 – i$\sqrt{6}$, z₂ = – 3 + i$\sqrt{6}$

Do đó

Câu 8: Phương trình z₁ = 1 + 2i, z₂ = 2 – 3i có nghiệm là z = 2 + i khi

Lời giải:

Thay z = 2 + i vào phương trình đã cho ta có:

Câu 9: Phương trình (1 + i)² = -7 + i có các nghiệm là

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

Viết -3 + 4i = 4i² + 4i + 1 = (2i + 1)², ta có: z² = (2i + 1)² <=> z = ±(2i + 1)

Chú ý: Nếu việc viết -3 + 4i = (2i + 1)² gặp khó khăn thì có thể đặt z = a + bi (a, b ∈ R). Ta có :

(a + bi)² = -3 + 4i <=> a² – b² + 2abi = -3 + 4i

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có b = $\frac{2}{a}$

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có

Vì a ∈ R và a² ≥ 0 nên a² = 1 hay a = ±1 . Từ đó ta có hai nghiệm : z₁ = -1 – 2i và z₂ = 1 + 2i

Câu 10: Phương trình z² + 4x + 5 = 0 có các nghiệm là

Lời giải:

Ta có: Δ’ = 2² – 1.5 = -1 = i². Phương trình có hai nghiệm là:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Phương trình z² + 8z + 17 = 0 có hai nghiệm là?

Bài 2 Phương trình z² – 4z + 9 = 0 có hai nghiệm. Giá trị biểu thức T = |z₁| + |z₂| bằng?

Bài 3 Phương trình z⁴ + 3z² – 4 = 0 có 4 nghiệm phức z₁, z₂, z₃, z₄. Giá trị biểu thức T = |z₁| + |z₂| + |z₃| + |z₄| bằng?

Bài 4 Thế nào là căn bậc hai của số thực dương a ?

Bài 5 Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7;-8;-12;-20;-121

Bài 6 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) -3z² + 2z – 1 = 0

b) 7z² + 3z + 2 = 0

c) 5z² – 7z + 11 = 0

Bài 7 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z⁴ + z² – 6 = 0

b) z⁴ + 7z² + 10 = 0

Bài 8 Cho a, b, c ∈R,a ≠ 0,z₁ , z₂ là hai nghiệm phân biệt ( thực hoặc phức) của phương trình ax²+bx+c=0. Hãy tính z₁+z₂ và z₁.z₂ theo hệ số a, b, c.

Bài 9 Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z− làm nghiệm.

Bài 10 Tìm các căn bậc hai của w = -5 + 12i.

B. Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực

1. Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ i² = –1, ta nói i là một căn bậc hai của – 1; – i cũng là một căn bậc hai của –1 vì (–i)² = –1.

Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn.

Căn bậc hai của –16 là $\pm 4i$ vì ${\left(\pm 4i\right)}^2=-16$

Căn bậc hai của –5 là $\pm \sqrt{5}i$ vì ${\left(\pm \sqrt{5}i\right)}^2=-5$

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là $\pm i\sqrt{\left|a\right|}$.

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 với a; b ; c$\in ℝ;a\ne 0$.

Xét biệt số ∆ = b² – 4ac của phương trình. Ta thấy:

Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực $x=\frac{-b}{2a}$.

Khi ∆ > 0, có hai căn bậc hai thực của ∆ là $\pm \sqrt{\Delta }$ và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức $x_{1;2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

Khi ∆ < 0, ta có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là $\pm i\sqrt{\left|\Delta \right|}$. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức $x_{1;2}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2a}$.

– Nhận xét:

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát: Mọi phương trình bậc n $(n\ge 1)$:

a₀.xⁿ + a₁.x^{n – 1} + ….+ a_n–1.x + a_n = 0

Trong đó; a₀ ; a₁;…..; a_n$\in ℂ;a_0\ne 0$đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).