Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian
Làm quen với hệ trục tọa độ Oxyz: tọa độ điểm và vectơ, các phép toán theo tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm, tích vô hướng, trung điểm, trọng tâm và các bài toán ứng dụng.
Lý thuyết
1. Hệ trục tọa độ Oxyz – Tọa độ điểm và vectơ
Hệ trục Oxyz gồm 3 trục $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc tại gốc $O$. Vectơ đơn vị: $\vec{i}=(1;0;0)$, $\vec{j}=(0;1;0)$, $\vec{k}=(0;0;1)$.
Tính chất: $\vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{k}=\vec{k}\cdot\vec{i}=0$; $|\vec{i}|=|\vec{j}|=|\vec{k}|=1$.
| Đối tượng | Ký hiệu | Điều kiện đặc biệt |
|---|---|---|
| Vectơ | $\vec{u}=(x;y;z)$ | $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ |
| Điểm | $M(x;y;z)$ | $\overrightarrow{OM}=(x;y;z)$ |
| Điểm trên $Ox$ | $M(x;0;0)$ | $y=z=0$ |
| Điểm trên $(Oxy)$ | $M(x;y;0)$ | $z=0$ |
2. Các công thức tính theo tọa độ
Cho $A(x_1;y_1;z_1)$, $B(x_2;y_2;z_2)$, $\vec{u}=(a_1;b_1;c_1)$, $\vec{v}=(a_2;b_2;c_2)$:
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Vectơ $\overrightarrow{AB}$ | $(x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1)$ |
| Độ dài $|\vec{u}|$ | $\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}$ |
| Khoảng cách $AB$ | $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ |
| Tích vô hướng $\vec{u}\cdot\vec{v}$ | $a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2$ |
| Tổng $\vec{u}+\vec{v}$ | $(a_1+a_2;\ b_1+b_2;\ c_1+c_2)$ |
| $k\vec{u}$ | $(ka_1;\ kb_1;\ kc_1)$ |
| Góc $(\vec{u},\vec{v})$ | $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\dfrac{a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\cdot\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$ |
| Vuông góc | $\vec{u}\perp\vec{v} \Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0$ |
| Cùng phương | $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ (tỉ lệ) |
3. Trung điểm, trọng tâm, hình chiếu, đối xứng
Cho $A(x_1;y_1;z_1)$, $B(x_2;y_2;z_2)$, $C(x_3;y_3;z_3)$:
| Điểm | Tọa độ |
|---|---|
| Trung điểm $M$ của $AB$ | $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\ \dfrac{y_1+y_2}{2};\ \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)$ |
| Trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$ | $\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3};\ \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3};\ \dfrac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ |
| Hình chiếu lên $(Oxy)$ | $M'(x;y;0)$ |
| Đối xứng qua $(Oxy)$ | $M'(x;y;-z)$ |
| Đối xứng qua $Oz$ | $M'(-x;-y;z)$ |
| Đối xứng qua $O$ | $M'(-x;-y;-z)$ |
• Hình chiếu lên mặt phẳng nào: tọa độ thứ 3 (vuông góc mặt phẳng đó) = 0.
• Đối xứng qua mặt phẳng nào: tọa độ vuông góc đó đổi dấu, hai tọa độ còn lại giữ nguyên.
• Đối xứng qua trục: hai tọa độ vuông góc với trục đổi dấu.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Tọa độ điểm – Vectơ – Phép toán
Phương pháp giải:
- Vectơ $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} \Rightarrow \vec{u}=(x;y;z)$.
- $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A)$.
- Phép toán: cộng/trừ từng tọa độ; nhân số: nhân vào từng tọa độ.
- Cùng phương: các tọa độ tỉ lệ.
Ví dụ:
Sắp xếp: $\vec{a}=2\vec{i}+1\vec{j}+(-3)\vec{k}$. Vậy $\vec{a}=(2;1;-3)$.
$\overrightarrow{AB}=(4-1;\ -1-2;\ 5-3)=(3;-3;2)$.
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+9+4}=\sqrt{22}$.
Dạng 2: Khoảng cách – Tích vô hướng – Góc
Phương pháp giải:
- Khoảng cách $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.
- Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot\vec{v}=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2$.
- Vuông góc: tích vô hướng $=0$.
- Góc: $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$.
Ví dụ:
$\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot2+2\cdot1+(-2)\cdot2=2+2-4=0$.
$\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Rightarrow \vec{u}\perp\vec{v}$, góc $=90°$.
Dạng 3: Trung điểm – Trọng tâm – Hình chiếu – Đối xứng
Phương pháp giải:
- Trung điểm: trung bình cộng tọa độ.
- Trọng tâm tam giác: trung bình cộng tọa độ 3 đỉnh.
- Hình chiếu: thành phần vuông góc với mặt phẳng → = 0.
- Đối xứng: đổi dấu thành phần vuông góc với mặt phẳng (hoặc trục).
Ví dụ:
$M=\left(\dfrac{1+3}{2};\ \dfrac{2+0}{2};\ \dfrac{3+(-1)}{2}\right)=(2;1;1)$.
Đối xứng qua $(Oxy)$: đổi dấu $z$ → $A'(1;-2;-3)$.
Đối xứng qua trục $Oz$: đổi dấu $x,y$ → $A''(-1;2;3)$.