Bài 18. Xác suất có điều kiện
Hiểu khái niệm xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất và cách sử dụng sơ đồ hình cây để giải các bài toán xác suất thực tế.
Lý thuyết xác suất có điều kiện
1. Khái niệm xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố $A$ và $B$. Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của $A$ đối với $B$, ký hiệu là $P(A|B)$.
Ý nghĩa: Chúng ta đang thu hẹp không gian mẫu từ $\Omega$ xuống chỉ còn các kết quả thuộc $B$.
2. Công thức nhân xác suất
Từ định nghĩa, ta có quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố bất kỳ:
$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$$
Hoặc nếu tính theo $A$ trước: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$$
3. Sơ đồ hình cây
Sơ đồ hình cây là công cụ trực quan mạnh mẽ để giải các bài toán xác suất có nhiều giai đoạn.
- Quy tắc nhân: Xác suất của một biến cố tương ứng với một đường đi từ gốc đến ngọn bằng tích các xác suất ghi trên các nhánh của đường đi đó.
- Quy tắc cộng: Nếu một biến cố gồm nhiều kết cục (nhiều ngọn), xác suất của nó bằng tổng các xác suất của các kết cục đó.
Ví dụ: Lấy bi từ hộp 1 rồi bỏ vào hộp 2, sau đó lấy bi từ hộp 2.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính xác suất có điều kiện bằng công thức
Phương pháp giải:
- Xác định biến cố điều kiện $B$ và tính $P(B)$.
- Xác định biến cố giao $A \cap B$ và tính $P(A \cap B)$.
- Áp dụng công thức $P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)$.
Ví dụ:
Gọi $B$: "Có ít nhất một con mặt 5 chấm". Số kết quả của $B$ là $11$ trường hợp (gồm $(5,1 \dots 6)$ và $(1 \dots 6, 5)$ trừ $(5,5)$ trùng). $P(B) = 11/36$.
Gọi $A$: "Tổng bằng 8". $A \cap B = \{(5,3), (3,5)\}$. Có 2 trường hợp. $P(A \cap B) = 2/36$.
Vậy $P(A|B) = \dfrac{2/36}{11/36} = 2/11$.
Ta có $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.5 + 0.6 - 0.8 = 0.3$.
$P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0.3}{0.5} = 0.6$.
Gọi $N_1$: "Người đầu là nữ", $N_2$: "Người sau là nữ".
Sau khi chọn 1 nữ, tổ còn 9 người (6 nam, 3 nữ). Xác suất người tiếp theo là nữ là $P(N_2|N_1) = 3/9 = 1/3$.
Dạng 2: Sử dụng sơ đồ hình cây
Phương pháp giải:
- Xây dựng các nhánh tương ứng với từng giai đoạn.
- Ghi xác suất lên từng nhánh. Nhánh sau luôn là xác suất có điều kiện.
- Tính xác suất tại các ngọn bằng cách nhân dọc theo nhánh.
Ví dụ:
Giai đoạn 1: X (5/8) hoặc Đ (3/8).
Giai đoạn 2:
- Nếu lần 1 X: Nhánh X (4/7) hoặc Đ (3/7).
- Nếu lần 1 Đ: Nhánh X (5/7) hoặc Đ (2/7).
$P(X_2) = P(X_1 \cap X_2) + P(\text{Đ}_1 \cap X_2) = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{20 + 15}{56} = \dfrac{35}{56} = \dfrac{5}{8}$.
Trúng 1 lần gồm 2 trường hợp: (Trúng 1, Trượt 2) hoặc (Trượt 1, Trúng 2).
$P = 0.7 \cdot (1 - 0.8) + (1 - 0.7) \cdot 0.5 = 0.7 \cdot 0.2 + 0.3 \cdot 0.5 = 0.14 + 0.15 = 0.29$.
Nhánh 1: Chọn Túi 1 (1/2) $\to$ Kẹo dâu (4/6). Tích = $1/2 \cdot 2/3 = 1/3$.
Nhánh 2: Chọn Túi 2 (1/2) $\to$ Kẹo dâu (3/8). Tích = $1/2 \cdot 3/8 = 3/16$.
Xác suất chung: $1/3 + 3/16 = 25/48$.
Dạng 3: Xác suất trong các phép thử lặp và lấy mẫu
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân xác suất $P(A \cap B) = P(A)P(B|A)$ cho các phép lấy mẫu không hoàn lại hoặc các sự kiện phụ thuộc lẫn nhau.
Ví dụ:
$P(A_1) = 4/52 = 1/13$.
Sau lá thứ nhất là Át, còn 51 lá và 3 lá Át. $P(A_2|A_1) = 3/51 = 1/17$.
$P = 1/13 \cdot 1/17 = 1/221$.
$P(T_1 \cap T_2) = P(T_1) \cdot P(T_2|T_1) = (1 - 0.1) \cdot (1 - 0.05) = 0.9 \cdot 0.95 = 0.855$.
$P(D_1 \cap D_2) = P(D_1) \cdot P(D_2|D_1) = 0.7 \cdot 0.8 = 0.56$.