Bài 3. Đường tiệm cận
Tìm hiểu về đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Nắm vững cách tính giới hạn và chia đa thức để xác định tiệm cận, ứng dụng vào khảo sát hàm số.
Lý thuyết
1. Đường tiệm cận ngang (TCN)
Định nghĩa
Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu:
- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0$, hoặc
- $\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$
• Nếu $\lim_{x\to+\infty}f = \lim_{x\to-\infty}f = y_0$ → 1 TCN: $y = y_0$.
• Nếu $\lim_{x\to+\infty}f = y_1 \neq y_2 = \lim_{x\to-\infty}f$ → 2 TCN: $y=y_1$ và $y=y_2$.
• Nếu cả hai giới hạn đều $= \infty$ → không có TCN.
• Bậc tử < bậc mẫu $\Rightarrow$ TCN là $y = 0$.
• Bậc tử = bậc mẫu $\Rightarrow$ TCN là $y = \dfrac{a_n}{b_n}$.
• Bậc tử > bậc mẫu $\Rightarrow$ không có TCN (có thể có tiệm cận xiên).
2. Đường tiệm cận đứng (TCĐ)
Định nghĩa
Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là tiệm cận đứng nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
- $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty$
- $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$
Cách tìm TCĐ cho hàm phân thức
- Rút gọn phân thức (nếu có nhân tử chung).
- Tìm nghiệm $x_0$ của mẫu sau khi rút gọn: $Q(x_0) = 0$.
- Kiểm tra $P(x_0) \neq 0$ → $x = x_0$ là TCĐ.
• TCĐ: $x = -\dfrac{d}{c}$. TCN: $y = \dfrac{a}{c}$.
• Đồ thị luôn có đúng 1 TCĐ và 1 TCN (nếu $ad \neq bc$).
3. Đường tiệm cận xiên (TCX)
Định nghĩa
Đường thẳng $y = kx + b$ ($k \neq 0$) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu:
- $\lim_{x \to +\infty}[f(x) - (kx+b)] = 0$, hoặc
- $\lim_{x \to -\infty}[f(x) - (kx+b)] = 0$
Điều kiện xuất hiện TCX
Hàm phân thức $y = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ có tiệm cận xiên khi và chỉ khi bậc tử = bậc mẫu + 1.
Với $y = \dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}$, thực hiện chia đa thức:
$$y = \dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e} = \underbrace{(kx+n)}_{\text{thương}} + \underbrace{\dfrac{r}{dx+e}}_{\to 0 \text{ khi } x\to\infty}$$
Khi $x \to \pm\infty$: phần dư $\to 0$, nên đồ thị tiệm cận về $y = kx + n$.
Hệ số: $k = \dfrac{a}{d}$ và $n = \dfrac{bd - ae}{d^2}$.
• TCN ($y = c$, hằng số): xuất hiện khi bậc tử ≤ bậc mẫu.
• TCX ($y = kx+n$, $k\neq0$): xuất hiện khi bậc tử = bậc mẫu + 1.
• TCĐ ($x = x_0$): xuất hiện khi mẫu = 0, tử ≠ 0.
4. Bảng tổng hợp các dạng hàm
| Dạng hàm | TCĐ | TCN | TCX |
|---|---|---|---|
| $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ | $x=-\dfrac{d}{c}$ | $y=\dfrac{a}{c}$ | Không có |
| $y=\dfrac{ax+b}{cx^2+dx+e}$ | Nghiệm mẫu (tử $\neq0$) | $y=0$ | Không có |
| $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ | $x=-\dfrac{e}{d}$ | Không có | $y=\dfrac{a}{d}x+\dfrac{bd-ae}{d^2}$ |
| $y=\dfrac{\sqrt{x^2+a}}{bx+c}$ | $x=-\dfrac{c}{b}$ | 2 TCN (khác dấu) | Không có |
Các dạng bài tập
Dạng 1: Dạng 1: Tìm tiệm cận ngang
Phương pháp giải:
Phương pháp
- Tính $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ và $\lim_{x\to-\infty}f(x)$.
- Mỗi giá trị hữu hạn là một TCN.
- Với phân thức: so sánh bậc tử và mẫu để xét nhanh.
Ví dụ:
Giải:
$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x+1}{x-3} = \dfrac{2}{1} = 2$. TCN: $y = 2$.
Giải:
$\lim_{x\to+\infty}y = 1$; $\lim_{x\to-\infty}y = -1$ (vì $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ khi $x<0$).
2 TCN: $y=1$ và $y=-1$.
Dạng 2: Dạng 2: Tìm tiệm cận đứng
Phương pháp giải:
Phương pháp
- Rút gọn phân thức.
- Tìm nghiệm của mẫu sau rút gọn: $Q(x_0)=0$.
- Tử $P(x_0)\neq0$ → $x=x_0$ là TCĐ.
Ví dụ:
Giải:
Mẫu: $(x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x=\pm2$. Tử $\neq0$ tại cả hai.
2 TCĐ: $x=2$ và $x=-2$.
Giải:
Rút gọn: $y=\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x-1}{x-3}$ ($x\neq2$).
Mẫu sau rút gọn $=0$ tại $x=3$ → 1 TCĐ: $x=3$. Điểm $x=2$ là lỗ hổng.
Dạng 3: Dạng 3: Đếm tổng số đường tiệm cận
Phương pháp giải:
Phương pháp
- Tìm tất cả TCĐ và TCN như trên.
- Nếu bậc tử = bậc mẫu + 1: tìm thêm TCX (bằng chia đa thức).
- Tổng = số TCĐ + số TCN + số TCX.
Ví dụ:
TCĐ: $x=\pm2$ (2 đường). TCN: $y=0$ (1 đường). Tổng: 3.
Bậc tử (2) = bậc mẫu (1) + 1 → có TCX. Chia: $y=x+1+\dfrac{-1}{x+2}$. TCX: $y=x+1$ (1 đường). TCĐ: $x=-2$ (1 đường). Không có TCN. Tổng: 2.
Dạng 4: Dạng 4: Tìm tiệm cận xiên (hàm bậc 2/bậc 1)
Phương pháp giải:
Phương pháp
- Kiểm tra điều kiện: bậc tử = bậc mẫu + 1.
- Chia đa thức tử cho mẫu, lấy phần thương $Q(x) = kx+n$.
- TCX: $y = kx + n$ (phần thương).
- TCĐ: nghiệm mẫu (nếu tử $\neq0$ tại đó).
- Không có TCN (bậc tử > bậc mẫu).
Ví dụ:
Giải:
Chia $x^2+3x+1$ cho $x+2$:
$x^2+3x+1 = (x+2)\cdot x + (x+1) = (x+2)\cdot x + (x+2) - 1 = (x+2)(x+1) - 1$.
Vậy: $y = x+1 + \dfrac{-1}{x+2}$.
$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-1}{x+2}=0$ → TCX: $y = x+1$. TCĐ: $x=-2$.
Giải:
Chia $2x^2-x+3$ cho $x-1$:
$2x^2-x+3 = 2x(x-1) + (x+3) = 2x(x-1) + (x-1) + 4 = (x-1)(2x+1) + 4$.
$y = 2x+1+\dfrac{4}{x-1}$.
- TCX: $y = 2x+1$.
- TCĐ: $x=1$ (mẫu $=0$, tử tại $x=1$: $4\neq0$).
- Không có TCN.
Tổng: 2 tiệm cận.