Bài 16. Công thức tính góc
Nắm vững các công thức tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và đặc biệt là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Lý thuyết tính góc trong không gian
1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho $d_1$ có VCP $\vec{u}_1$ và $d_2$ có VCP $\vec{u}_2$. Góc $\alpha$ giữa $d_1, d_2$ ($0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$) được tính bởi:
$$\cos \alpha = \dfrac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|}$$
2. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho mp $(P_1)$ có VPT $\vec{n}_1$ và mp $(P_2)$ có VPT $\vec{n}_2$. Góc $\varphi$ giữa $(P_1), (P_2)$ ($0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$) được tính bởi:
$$\cos \varphi = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$
Nếu $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$ thì hai mặt phẳng vuông góc.
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng $d$ có VCP $\vec{u}$ và mp $(P)$ có VPT $\vec{n}$. Góc $\theta$ giữa $d$ và $(P)$ được tính bởi hàm SIN:
$$\sin \theta = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$$
Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp giải:
- Xác định VCP $\vec{u}$ của đường thẳng.
- Xác định VPT $\vec{n}$ của mặt phẳng.
- Dùng công thức $\sin \theta$.