Bài 12. Tích phân
Nắm vững công thức Newton-Leibniz, các tính chất tích phân, tính tích phân định trực tiếp và ứng dụng vào vật lý (quãng đường, công), kinh tế (lợi nhuận, chi phí tích lũy) và tài chính.
Lý thuyết
1. Định nghĩa và công thức Newton-Leibniz
Cho $f$ liên tục trên $[a;b]$, $F$ là nguyên hàm của $f$:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b$$
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Cận bằng nhau | $\int_a^a f\,dx=0$ |
| Đảo cận | $\int_a^b f\,dx=-\int_b^a f\,dx$ |
| Nhân hằng số | $\int_a^b kf\,dx=k\int_a^b f\,dx$ |
| Tuyến tính | $\int_a^b(f\pm g)\,dx=\int_a^b f\,dx\pm\int_a^b g\,dx$ |
| Cộng cận | $\int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx$ |
2. Tính tích phân một số hàm đặc biệt
| Tích phân | Kết quả | Ghi chú |
|---|---|---|
| $\int_a^b x^n\,dx$ ($n\neq-1$) | $\dfrac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}$ | $n=-1$: dùng $\ln$ |
| $\int_a^b e^x\,dx$ | $e^b-e^a$ | |
| $\int_1^e\dfrac{1}{x}\,dx$ | $\ln e-\ln 1=1$ | Kết quả hay gặp |
| $\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx$ | $1$ | $-\cos x\big|_0^{\pi/2}$ |
| $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$ | $1$ | $\sin x\big|_0^{\pi/2}$ |
| $\int_0^\pi\sin x\,dx$ | $2$ | Hay dùng trong diện tích |
3. Ứng dụng tích phân vào thực tế
| Lĩnh vực | Bài toán | Công thức |
|---|---|---|
| Vật lý | Quãng đường từ $t_1$ đến $t_2$ | $S=\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|\,dt$ |
| Vật lý | Công của lực $F(x)$ từ $a$ đến $b$ | $A=\int_a^b F(x)\,dx$ |
| Kinh tế | Tổng chi phí từ $q_1$ đến $q_2$ sp | $\Delta C=\int_{q_1}^{q_2}C'(q)\,dq$ |
| Kinh tế | Thặng dư người tiêu dùng | $CS=\int_0^{q^*}[D(q)-p^*]\,dq$ |
| Nhân khẩu | Tổng tăng trưởng dân số trong $[t_1;t_2]$ | $\Delta N=\int_{t_1}^{t_2}r(t)\,dt$ |
Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính tích phân trực tiếp bằng Newton-Leibniz
Phương pháp giải:
- Biến đổi $f(x)$ về các hàm cơ bản có trong bảng nguyên hàm.
- Tìm nguyên hàm $F(x)$.
- Tính $F(b)-F(a)$.
Ví dụ:
$I=\left(\dfrac{x^3}{3}+x^2-3x\right)\Bigg|_1^2=\left(\dfrac{8}{3}+4-6\right)-\left(\dfrac{1}{3}+1-3\right)=\dfrac{2}{3}+2-(-2)\cdot(-1)$
$=\left(\dfrac{8}{3}-2\right)-\left(\dfrac{1}{3}-2\right)=\dfrac{7}{3}+(-\dfrac{5}{3})+2\cdot\ldots$
Tính thẳng: $F(2)=8/3+4-6=8/3-2$; $F(1)=1/3+1-3=1/3-2$. $I=8/3-2-(1/3-2)=7/3$.
$I=(e^x+x^2)\Big|_0^1=(e+1)-(1+0)=e$.
Dạng 2: Sử dụng tính chất tích phân
Phương pháp giải:
- Biết thành phần: Dùng $\int(af+bg)=a\int f+b\int g$.
- Cộng cận: $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$.
- Tìm tham số: Biểu diễn tích phân theo $a$ rồi giải phương trình.
Ví dụ:
$=4\times7-3\times2+2\times3=28-6+6=28$.
$(x^2+x)\Big|_0^a=a^2+a=10\Rightarrow a^2+a-10=0\Rightarrow a=\dfrac{-1+\sqrt{41}}{2}\approx2{,}7$.
Hoặc chọn đề cho $a^2+a=12$: $\int_0^a(2x+1)=12$, với $a^2+a=12\Rightarrow a=3$.
Dạng 3: Ứng dụng tích phân vào bài toán thực tế
Phương pháp giải:
- Nhận diện đại lượng cần tính là tích phân của hàm nào.
- Xác định cận $[a;b]$ từ ngữ cảnh (khoảng thời gian, sản lượng...).
- Tính tích phân xác định.
Ví dụ:
Tìm khi $v=0$: $t^2-2t=0\Rightarrow t=0$ hoặc $t=2$. Trên $[0;2]$: $v<0$; trên $[2;3]$: $v>0$.
$S=\int_0^2|t^2-2t|\,dt+\int_2^3|t^2-2t|\,dt=\int_0^2(2t-t^2)\,dt+\int_2^3(t^2-2t)\,dt$
$=(t^2-t^3/3)\Big|_0^2+(t^3/3-t^2)\Big|_2^3=(4-8/3)+(9-9-8/3+4)=4/3+4/3=8/3$ m.
$\Delta C=\int_5^{10}(0{,}3q^2-2q+5)\,dq=(0{,}1q^3-q^2+5q)\Big|_5^{10}$.
$F(10)=100-100+50=50$; $F(5)=12{,}5-25+25=12{,}5$.
$\Delta C=50-12{,}5=37{,}5$ nghìn đồng.