Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân
Sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng (giữa hai đường cong, phá trị tuyệt đối) và thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox/Oy. Tăng cường bài tập khó về tham số và bài tích hợp nhận dạng hình.
Lý thuyết
1. Diện tích hình phẳng
| Trường hợp | Công thức | Chú ý |
|---|---|---|
| Giữa $y=f(x)$ và $Ox$ | $S=\int_a^b|f(x)|dx$ | Phải dùng $|\cdot|$, không phải $f(x)$ |
| Giữa $y=f(x)$ và $y=g(x)$ | $S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx$ | Tìm giao điểm $f=g$ để đổi dấu |
2. Thể tích khối tròn xoay
Quay quanh trục $Ox$:
$$V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$$
Quay quanh trục $Oy$: Cần đổi biến, biểu thị $x$ theo $y$.
$$V=\pi\int_c^d[h(y)]^2dy$$ ($h(y)$ là hàm $x$ theo $y$).
| Hình | $f(x)$ | $[a;b]$ | $V$ |
|---|---|---|---|
| Hình trụ $r,h$ | $r$ | $[0;h]$ | $\pi r^2h$ |
| Hình nón $r,h$ | $\dfrac{r}{h}x$ | $[0;h]$ | $\dfrac{1}{3}\pi r^2h$ |
| Hình cầu $R$ | $\sqrt{R^2-x^2}$ | $[-R;R]$ | $\dfrac{4}{3}\pi R^3$ |
3. Thể tích vật thể tổng quát
Nếu thiết diện vuông góc với trục $Ox$ tại $x$ có diện tích $S(x)$:
$$V=\int_a^b S(x)dx$$
Đây là công thức tổng quát nhất. Hình tròn xoay là trường hợp riêng với $S(x)=\pi[f(x)]^2$.
• Hình vuông cạnh $a(x)$: $S=a^2(x)$.
• Hình tròn bán kính $r(x)$: $S=\pi r^2(x)$.
• Tam giác đều cạnh $a(x)$: $S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2(x)$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Diện tích hình phẳng
Phương pháp giải:
- Xác định các đường giới hạn và cận $[a;b]$.
- Tìm giao điểm (giải PT $f(x)=g(x)$ hoặc $f(x)=0$).
- Chia đoạn, phá trị tuyệt đối theo dấu của hàm.
- Tính từng đoạn rồi cộng lại.
Ví dụ:
$x^2-1=0\Rightarrow x=1$. Trên $[0;1]$: $f<0$; trên $[1;2]$: $f>0$.
$S=\int_0^1(1-x^2)dx+\int_1^2(x^2-1)dx=(x-x^3/3)\Big|_0^1+(x^3/3-x)\Big|_1^2=2/3+4/3=2$.
Giao điểm: $x^2=x+2\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=2$.
Trên $[-1;2]$: $x+2\geq x^2$. $S=\int_{-1}^2(-x^2+x+2)dx=(-x^3/3+x^2/2+2x)\Big|_{-1}^2=(−8/3+2+4)−(1/3+1/2−2)=10/3+7/6=9/2$.
Dạng 2: Thể tích khối tròn xoay quanh Ox
Phương pháp giải:
- Xác định $f(x)$ và $[a;b]$.
- Tính $[f(x)]^2$ (biến đổi nếu cần).
- $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$.
- Lượng giác: dùng $\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$ để tính $\int\sin^2x$.
Ví dụ:
$V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\cdot8=8\pi$.
$V=\pi\int_0^1[x^2-(x^2)^2]dx=\pi\int_0^1(x^2-x^4)dx=\pi\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right)\Big|_0^1=\pi\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{2\pi}{15}$.
Dạng 3: Thể tích vật thể và bài tham số
Phương pháp giải:
- Xác định $S(x)$ từ hình dạng thiết diện.
- $V=\int_a^b S(x)dx$.
- Với bài tham số: lập tích phân theo tham số, đặt phương trình tìm tham số.
Ví dụ:
Giao điểm: $x^2=mx\Rightarrow x=0$ hoặc $x=m$ (giả sử $m>0$).
$S=\int_0^m(mx-x^2)dx=\left(\dfrac{mx^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_0^m=\dfrac{m^3}{6}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow m^3=8\Rightarrow m=2$.