Bài 15. Phương trình đường thẳng
Học cách viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng và xét vị trí tương đối giữa đường thẳng với mặt phẳng, đường thẳng.
Lý thuyết đường thẳng
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$ được gọi là vectơ chỉ phương (VCP) của $\Delta$.
2. Các dạng phương trình đường thẳng
Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có VCP $\vec{u} = (a; b; c)$.
① Phương trình tham số:
$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} (t \in \mathbb{R})$$
② Phương trình chính tắc:
Nếu $abc \neq 0$, phương trình được viết dưới dạng:
$$\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}$$
3. Vị trí tương đối
① Giữa hai đường thẳng:
Dựa vào VCP $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ và các điểm thuộc chúng. Có 4 trường hợp: Song song, trùng nhau, cắt nhau, hoặc chéo nhau.
② Giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Xét phương trình tham số của đường thẳng thay vào phương trình mặt phẳng:
- Vô nghiệm: $\Delta \parallel (P)$.
- Nghiệm duy nhất: $\Delta$ cắt $(P)$.
- Vô số nghiệm: $\Delta \subset (P)$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp giải:
- Xác định một điểm đi qua.
- Xác định 1 vectơ chỉ phương (trực tiếp, nối 2 điểm, hoặc tích có hướng của 2 VPT mặt phẳng).
- Lập phương trình tham số hoặc chính tắc.
Ví dụ:
VCP $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (1; 2; -1)$.
PT tham số: $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases}$