Bài 5. Ứng dụng đạo hàm vào thực tiễn
Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết các bài toán thực tiễn: tối ưu hóa hình học, chuyển động cơ học, và bài toán kinh tế (chi phí, doanh thu, lợi nhuận).
Lý thuyết
1. Quy trình giải bài toán tối ưu hóa
4 bước thực hiện
- Bước 1 – Chọn biến: Đặt biến số $x$ (chiều dài, bán kính, số lượng...). Xác định miền xác định: $x \in (a;b)$ hoặc $[a;b]$.
- Bước 2 – Lập hàm mục tiêu: Biểu diễn đại lượng cần tối ưu (Diện tích, Thể tích, Lợi nhuận...) theo $x$ → hàm $f(x)$.
- Bước 3 – Tìm cực trị: Tính $f'(x)$, giải $f'(x)=0$, lập bảng biến thiên hoặc so sánh tại đầu mút.
- Bước 4 – Kết luận: Tính giá trị tối ưu và trả lời câu hỏi thực tế.
Nếu hàm mục tiêu có dạng $f(x)=x+\dfrac{k}{x}$ ($k>0$, $x>0$) thì áp dụng BĐT Cauchy: $x+\dfrac{k}{x}\geq2\sqrt{k}$. Dấu bằng khi $x=\sqrt{k}$. Nhanh hơn tính đạo hàm.
2. Ứng dụng trong chuyển động cơ học
Các công thức cơ bản
Vật chuyển động thẳng với quãng đường $s = s(t)$ ($t$ là thời gian):
| Đại lượng | Công thức | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Vận tốc tức thời | $v(t)=s'(t)$ | $v>0$: chiều dương; $v<0$: chiều âm |
| Gia tốc tức thời | $a(t)=v'(t)=s''(t)$ | $a>0$: tăng tốc; $a<0$: giảm tốc |
| Vận tốc lớn nhất | Khảo sát $v(t)$ trên $[t_1;t_2]$ | GTLN của $v(t)$ |
3. Ứng dụng trong kinh tế
Các hàm kinh tế cơ bản
Cho $x$ là số lượng sản phẩm sản xuất/bán ra ($x>0$):
- Hàm chi phí $C(x)$: Chi phí sản xuất $x$ đơn vị. Thường gồm chi phí cố định $C_0$ và chi phí biến đổi.
- Chi phí trung bình: $\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$.
- Chi phí biên: $C'(x)$ — chi phí ước tính cho đơn vị sản phẩm thứ $x+1$.
- Hàm doanh thu: $R(x) = x\cdot p(x)$ (với $p(x)$ là hàm giá bán).
- Hàm lợi nhuận: $P(x) = R(x) - C(x)$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Dạng 1: Tối ưu hóa hình học
Phương pháp giải:
- Chọn biến $x$ (cạnh, bán kính, chiều cao...), xác định điều kiện $x>0$ và các ràng buộc.
- Biểu diễn đại lượng cần tối ưu theo $x$ (dùng công thức diện tích, thể tích, chu vi).
- Tìm GTLN/GTNN của hàm $f(x)$ trên miền xác định.
- Kiểm tra điều kiện thực tế và kết luận.
Ví dụ:
Gọi cạnh song song tường là $x$, cạnh vuông góc là $y$ ($x,y>0$).
$xy=200 \Rightarrow y=\dfrac{200}{x}$.
Độ dài hàng rào: $L=x+2y=x+\dfrac{400}{x}$.
$L'=1-\dfrac{400}{x^2}=0 \Rightarrow x=20$. $L''=\dfrac{800}{x^3}>0$ → cực tiểu.
$y=\dfrac{200}{20}=10$. Kích thước: $20\,m\times10\,m$.
Đáy hộp: $(12-2x)\times(12-2x)$; cao: $x$. Điều kiện: $0 $V(x)=x(12-2x)^2=4x(6-x)^2$. $V'(x)=4(6-x)^2+4x\cdot2(6-x)(-1)=4(6-x)(6-3x)=12(6-x)(2-x)$. $V'=0 \Rightarrow x=2$ (nhận) hoặc $x=6$ (loại). $V(2)=2\cdot8^2=128\,cm^3$. $x=2\,cm$, thể tích max $=128\,cm^3$.
Dạng 2: Dạng 2: Bài toán chuyển động
Phương pháp giải:
- Xác định hàm vị trí $s(t)$ (cho sẵn).
- Tính $v(t)=s'(t)$; $a(t)=v'(t)$.
- Tìm vận tốc lớn nhất/nhỏ nhất bằng khảo sát hàm $v(t)$ trên đoạn $[0;T]$.
- Tìm thời điểm vật dừng: giải $v(t)=0$.
Ví dụ:
$v(t)=s'(t)=-3t^2+12t$.
$v'(t)=-6t+12=0 \Rightarrow t=2$.
So sánh: $v(0)=0$; $v(2)=12$; $v(6)=-36$.
Vận tốc lớn nhất là $12\,m/s$ tại $t=2\,s$.
Dạng 3: Dạng 3: Bài toán kinh tế
Phương pháp giải:
- Xác định hàm mục tiêu: $P(x)=R(x)-C(x)$ hoặc $\bar{C}(x)$.
- Tìm cực đại của $P(x)$ hoặc cực tiểu của $\bar{C}(x)$.
- Kiểm tra điều kiện $x>0$ (và nguyên nếu cần).
- Kết luận: số sản phẩm tối ưu, mức giá tối ưu, lợi nhuận max.
Ví dụ:
$\bar{C}(x)=\dfrac{x^2+20x+4000}{x}=x+20+\dfrac{4000}{x}$.
$\bar{C}'(x)=1-\dfrac{4000}{x^2}=0 \Rightarrow x=\sqrt{4000}\approx63$ sản phẩm.
Hoặc dùng BĐT Cauchy: $x+\dfrac{4000}{x}\geq2\sqrt{4000}=40\sqrt{10}$, dấu bằng khi $x=\sqrt{4000}$.
Cần sản xuất khoảng $63$ sản phẩm.